2008-四川卷文-04 单-切化弦化简

本题导读

$(\tan x+\cot x){\cos }^{2}x=\frac{{\sin }^{2}x+{\cos }^{2}x}{\sin x\cos x}\cdot {\cos }^{2}x=\frac{\cos x}{\sin x}=\cot x$.

📌【题干】

Question

（2008年四川卷(文)） $(\tan x+\cot x){\cos }^{2}x=$()

A. $\tan x$　　　　　　　B. $\sin x$　　　　　　　C. $\cos x$　　　　　　　D. $\cot x$

🔍【思路分析】

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切化弦通分得 $\frac{1}{\sin x\cos x}$，乘 ${\cos }^{2}x$ 后约分；在表达式有意义处 $\sin x\ne 0$、$\cos x\ne 0$.

✅【答案】

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D

✍【详细解析】

Abstract

在表达式有意义的范围内，$\sin x\ne 0$，$\cos x\ne 0$．因而$(\tan x+\cot x){\cos }^{2}x=\left(\frac{\sin x}{\cos x}+\frac{\cos x}{\sin x}\right){\cos }^{2}x=\frac{{\sin }^{2}x+{\cos }^{2}x}{\sin x\cos x}{\cos }^{2}x=\frac{\cos x}{\sin x}=\cot x$．故选 D.

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

核心考点：同角三角函数的化简

核心方法：tan、cot 全部切化弦，通分后约分

避坑指南：$(\tan x+\cot x)$ 通分得 $\frac{1}{\sin x\cos x}$，乘 ${\cos }^{2}x$ 后约去一个 $\cos x$，结果 $\cot x$；化简须在有意义范围内进行（$\sin x\cos x\ne 0$）

📖【试题探源与推广】

Tip

试题探源：同角三角函数的切化弦化简，课本习题原型

结论推广：$(\tan x+\cot x)\sin x\cos x=1$ 是常用恒等式

方法推广：遇 tan、cot 混合式先切化弦通分，再约分

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

• 07.02 三角函数的定义与诱导公式
• 10.01 两角和与差及辅助角公式

类题演练 (Links)

• 2015-四川卷理-04 单-三角函数周期
• 2007-四川卷理-04 单-因式分解代数变形
• 2016-四川卷理-17