2007-大纲卷II文-20 解-线面平行与二面角

本题导读

本题考查线面平行的判定。

📌【题干】

Question

（2007年大纲卷II(文)） 如图，在四棱锥 $S-ABCD$ 中，底面 $ABCD$ 为正方形，侧棱 $SD\perp$ 底面 $ABCD$，$E$，$F$ 分别是 $AB$，$SC$ 的中点． （1）证明：$EF\parallel$ 平面 $SAD$； （2）设 $SD=2CD$，求二面角 $A-EF-D$ 的大小．

🔍【思路分析】

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1. （1）取 $SB$ 中点 $M$：$EM$ 是 $△SAB$ 中位线 $\Rightarrow EM\parallel SA$；$FM$ 是 $△SBC$ 中位线 $\Rightarrow FM\parallel BC\parallel AD$；两组相交直线分别平行得面面平行。
2. （2）二面角的大小与图形相似缩放无关，令 $CD=1$、$SD=2$；以 $D$ 为原点、$DA$、$DC$、$DS$ 为轴建系。
3. $E=(1,\frac{1}{2},0)$，$F=(0,\frac{1}{2},1)$；两半平面法向量 ${\mathbf{n}}_1=\overrightarrow{EF}\times \overrightarrow{EA}$、${\mathbf{n}}_2=\overrightarrow{EF}\times \overrightarrow{ED}$。

✅【答案】

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（1）证明见解析；（2）$\theta =\arccos \frac{\sqrt{3}}{3}$

✍【详细解析】

Abstract

（1） 取 $SB$ 的中点 $M$，连接 $EM$，$FM$． 在 $△SAB$ 中，$E$、$M$ 分别是 $AB$、$SB$ 的中点，故 $EM$ 是中位线，$EM\parallel SA$； 在 $△SBC$ 中，$F$、$M$ 分别是 $SC$、$SB$ 的中点，故 $FM\parallel BC$；又底面 $ABCD$ 为正方形，$BC\parallel AD$，所以 $FM\parallel AD$． $EM\cap FM=M$，$EM\subset$ 平面 $EFM$，$FM\subset$ 平面 $EFM$，且 $SA\cap AD=A$，$SA\subset$ 平面 $SAD$，$AD\subset$ 平面 $SAD$，所以 $\text{平面 }EFM\parallel \text{平面 }SAD.$ 又 $EF\subset$ 平面 $EFM$，故 $EF\parallel$ 平面 $SAD$． （2） 二面角的大小与图形的相似缩放无关，令 $CD=1$，则 $SD=2$．以 $D$ 为原点、$DA$、$DC$、$DS$ 所在直线为 $x$、$y$、$z$ 轴建系： $D=(0,0,0),A=(1,0,0),C=(0,1,0),B=(1,1,0),S=(0,0,2),$ $E=\left(1,\frac{1}{2},0\right),F=\left(0,\frac{1}{2},1\right).$ 于是 $\overrightarrow{EF}=(-1,0,1)$，$\overrightarrow{EA}=(0,-\frac{1}{2},0)$，$\overrightarrow{ED}=(-1,-\frac{1}{2},0)$． 取平面 $AEF$ 与平面 $DEF$ 的法向量 ${\mathbf{n}}_1=2(\overrightarrow{EF}\times \overrightarrow{EA})=(1,0,1),{\mathbf{n}}_2=2(\overrightarrow{EF}\times \overrightarrow{ED})=(1,-2,1).$ 设二面角 $A-EF-D$ 的平面角为 $\theta$，则 $\cos \theta =\frac{|{\mathbf{n}}_1\cdot {\mathbf{n}}_2|}{|{\mathbf{n}}_1||{\mathbf{n}}_2|}=\frac{|1+0+1|}{\sqrt{2}\cdot \sqrt{6}}=\frac{2}{\sqrt{12}}=\frac{\sqrt{3}}{3},$ 故二面角 $A-EF-D$ 的大小为 $\arccos \frac{\sqrt{3}}{3}$．

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

核心考点：线面平行与二面角

核心方法：中位线构造面面平行，法向量求二面角

避坑指南：二面角大小与图形缩放无关，可令 CD=1 简化计算

📖【试题探源与推广】

Tip

试题探源：线面平行的判定定理

结论推广：面面平行则线面平行

方法推广：中点常构造中位线得到平行关系

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点(Nodes)

• 13.03 空间点、线、面位置关系
• 13.05 几何法求空间角专题

类题演练(Links)

• 2008-大纲卷I文-18 解-四棱锥垂直二面角
• 2008-湖南卷文-18 解-四棱锥垂直与二面角