2007-江西卷文-20 解-线面平行线面角截体体积

本题导读

本题考查线面平行。

📌【题干】

Question

（2007年江西卷(文)） 如图是一个直三棱柱（以 $A_1{B}_1{C}_1$ 为底面）被一平面所截得到的几何体，截面为 $ABC$．已知 $A_1{B}_1=B_1{C}_1=1$，$\angle A_1{B}_1{C}_1=90^{\circ }$，$A{A}_1=4$，$B{B}_1=2$，$C{C}_1=3$． （1）设点 $O$ 是 $AB$ 的中点，证明：$OC\parallel$ 平面 $A_1{B}_1{C}_1$； （2）求 $AB$ 与平面 $A{A}_1{C}_{1}C$ 所成的角的大小； （3）求此几何体的体积．

🔍【思路分析】

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（1）建系令 $A_1(0,0,0)$、$B_1(1,0,0)$、$C_1(1,1,0)$，$z$ 轴竖直向上，$A(0,0,4)$、$B(1,0,2)$、$C(1,1,3)$，$O$ 是 $AB$ 中点得 $O\left(\frac{1}{2},0,3\right)$，$\overrightarrow{OC}=\left(\frac{1}{2},1,0\right)$ 竖直分量为 0，故 $OC\parallel$ 平面 $A_1{B}_1{C}_1$。 （2）平面 $A{A}_1{C}_{1}C$ 满足 $x=y$，法向量 $\mathbf{n}=(1,-1,0)$，$\overrightarrow{AB}=(1,0,-2)$，$\sin \phi =\frac{|\overrightarrow{AB}\cdot \mathbf{n}|}{|\overrightarrow{AB}||\mathbf{n}|}$。 （3）分成三个四面体或混合积求体积。

✅【答案】

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（1）证明见解析；（2）$\arctan \frac{1}{3}$；（3）$\frac{3}{2}$

✍【详细解析】

Abstract

（1）建立空间直角坐标系，取 $A_1(0,0,0)$、$B_1(1,0,0)$、$C_1(1,1,0)$，$z$ 轴竖直向上，则 $A(0,0,4)$、$B(1,0,2)$、$C(1,1,3)$． $O$ 是 $AB$ 的中点，故 $O\left(\frac{1}{2},0,3\right)$，$\overrightarrow{OC}=\left(\frac{1}{2},1,0\right)$． 平面 $A_1{B}_1{C}_1$ 的方程为 $z=0$，而 $\overrightarrow{OC}$ 的竖直分量为 $0$，故 $OC\parallel$ 平面 $A_1{B}_1{C}_1$． （2）平面 $A{A}_1{C}_{1}C$ 上的点满足 $x=y$，其法向量取 $\mathbf{n}=(1,-1,0)$． $\overrightarrow{AB}=(1,0,-2)$，设 $AB$ 与平面 $A{A}_1{C}_{1}C$ 所成角为 $\phi$，则 $\sin \phi =\frac{|\overrightarrow{AB}\cdot \mathbf{n}|}{|\overrightarrow{AB}||\mathbf{n}|}=\frac{1}{\sqrt{5}\cdot \sqrt{2}}=\frac{1}{\sqrt{10}}.$ 故 $\cos \phi =\frac{3}{\sqrt{10}}$，$\tan \phi =\frac{1}{3}$，即 $\phi =\arctan \frac{1}{3}$． （3）该几何体可分成三个互不重叠的四面体 $A_1{B}_1{C}_{1}A$、$B_1{C}_{1}AB$、$C_{1}ABC$． $V_{A_1{B}_1{C}_{1}A}=\frac{1}{3}\cdot \frac{1}{2}\cdot 4=\frac{2}{3}$； $V_{B_1{C}_{1}AB}=\frac{1}{6}\left|\left(\overrightarrow{B_1{C}_1}\times \overrightarrow{B_{1}A}\right)\cdot \overrightarrow{B_{1}B}\right|=\frac{1}{6}\left|(0,1,0)\times (-1,0,4)\cdot (0,0,2)\right|=\frac{1}{3}$； $V_{C_{1}ABC}=\frac{1}{6}\left|\left(\overrightarrow{C_{1}A}\times \overrightarrow{C_{1}B}\right)\cdot \overrightarrow{C_{1}C}\right|=\frac{1}{6}\left|(-1,-1,4)\times (0,-1,2)\cdot (0,0,3)\right|=\frac{1}{2}$． 故总体积 $V=\frac{2}{3}+\frac{1}{3}+\frac{1}{2}=\frac{3}{2}$．

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

核心考点：线面平行线面角截体体积

核心方法：建系证 $\overrightarrow{OC}$ 竖直分量 0；法向量求线面角；割成三四面体求体积

避坑指南：线面角是线向量与法向量夹角的余角：$\sin \phi =\frac{|\overrightarrow{AB}\cdot \mathbf{n}|}{|\overrightarrow{AB}||\mathbf{n}|}$；体积剖分勿重复

📖【试题探源与推广】

Tip

试题探源：直三棱柱截体的线面平行、线面角、体积，立几大题

结论推广：被平面截得棱柱可剖成三四面体求体积；线面角用法向量

方法推广：截体体积用”分割 + 混合积”或补形法

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点(Nodes)

• 13.03 空间点、线、面位置关系
• 13.04 立体几何高阶：定理、模型与性质

类题演练(Links)

• 2008-湖北卷文-18 解-直三棱柱垂直与角
• 2007-大纲卷II文-20 解-线面平行与二面角
• 2009-大纲卷II文-19 解-直三棱柱线面角
• 2007-浙江卷文-20 解-线面垂直与线面角