2007-安徽卷文-06 单-线面垂直充分条件

本题导读

本题考查线面垂直，以及充分条件与必要条件。

📌【题干】

Question

（2007年安徽卷(文)） 设 $l$，$m$，$n$ 均为直线，其中 $m$，$n$ 在平面 $\alpha$ 内，"$l\perp \alpha$"是”$l\perp m$ 且 $l\perp n$“的 ()

A. 充分不必要条件　　　　　　　　　　B. 必要不充分条件

C. 充分必要条件　　　　　　　　　　　D. 既不充分也不必要条件

🔍【思路分析】

破题导航

1. 充分性：线面垂直的定义——$l\perp \alpha$ 时 $l$ 垂直于 $\alpha$ 内所有直线，当然垂直于 $m,n$。
2. 必要性：若 $m\parallel n$，$l\perp m,l\perp n$ 只说明 $l$ 垂直于一个方向，未必垂直整个平面。
3. 故是充分不必要条件。

✅【答案】

点击查看答案

A

✍【详细解析】

Abstract

若 $l\perp \alpha$，由线面垂直的定义，$l$ 与平面 $\alpha$ 内任意直线都垂直，所以 $l\perp m$ 且 $l\perp n$，充分性成立． 反之，若 $l\perp m$ 且 $l\perp n$，当 $m\parallel n$ 时，$l$ 只垂直于一个方向，$l$ 与 $\alpha$ 可以斜交甚至 $l\subset \alpha$，推不出 $l\perp \alpha$，必要性不成立． 所以"$l\perp \alpha$"是”$l\perp m$ 且 $l\perp n$“的充分不必要条件，故选 A． （核心对照：线面垂直判定定理要求 $m$，$n$ 相交；本题没有”$m$ 与 $n$ 相交”的条件，必要性自然落空。）

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

核心考点：线面垂直充分条件

核心方法：线面垂直定义给充分性；判定定理要求两相交直线给必要性

避坑指南：”$m$，$n$ 相交”是判定定理的必要条件，题目没给就必须否定必要性

📖【试题探源与推广】

Tip

试题探源：空间线面关系命题题与逻辑条件判断的交汇题型

结论推广：线面垂直判定定理中”两直线相交”条件缺失即失效

方法推广：命题真假判断与充分必要判断可互相转化，先翻译成集合语言

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点(Nodes)

• 13.03 空间点、线、面位置关系
• 02.01 常用逻辑用语

类题演练(Links)

• 2008-天津卷文-05 单-线面垂直充分条件
• 2007-浙江卷文-03 单-充分必要条件
• 2007-浙江卷文-07 单-异面直线公垂线
• 2012-四川卷文-07 单-向量单位向量与充分条件