2008-天津卷文-05 单-线面垂直充分条件

本题导读

考查线面关系与充分条件。C 中 $b ⊥ β$ 且 $α ∥ β$ 得 $b ⊥ α$ ， $a \subset α$ 得 $a ⊥ b$ ，充分；A、B、D 各有反例，选 C。

📌【题干】

Question

（2008年天津卷(文)）设 $a$ ， $b$ 是两条直线， $α$ ， $β$ 是两个平面，则 $a ⊥ b$ 的一个充分条件是()

A. $a ⊥ α$ ， $b ∥ β$ ， $α ⊥ β$ 　　　　B. $a ⊥ α$ ， $b ⊥ β$ ， $α ∥ β$ 　　　　C. $a \subset α$ ， $b ⊥ β$ ， $α ∥ β$ 　　　　D. $a \subset α$ ， $b ∥ β$ ， $α ⊥ β$

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逐项验证”条件 $\Rightarrow a ⊥ b$ ”。

C： $b ⊥ β$ ， $α ∥ β \Rightarrow b ⊥ α$ ； $a \subset α \Rightarrow a ⊥ b$ ，成立。

A、B、D 用坐标反例否定：取 $α = x O y$ 面、 $β = x O z$ 面，A 中取 $a = b = (0, 0, 1)$ （平行不垂直）；B 中 $a$ 、 $b$ 都平行于法向量， $a ∥ b$ ；D 中取 $a = b = (1, 0, 0)$ （平行不垂直）。

✅【答案】

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C

✍【详细解析】

Abstract

对 C：因为 $b ⊥ β$ ， $α ∥ β$ ，所以 $b ⊥ α$ ；又 $a \subset α$ ，由线面垂直的定义得 $a ⊥ b$ ，充分性成立. 对 A、B、D 各举反例：取 $α$ 为 $x O y$ 平面， $β$ 为 $x O z$ 平面，则 $α ⊥ β$ . A：取 $a = (0, 0, 1)$ （ $a ⊥ α$ ）， $b = (0, 0, 1)$ （ $b ∥ β$ ，因其 $y$ 分量为 $0$ ），此时 $a ∥ b$ ，不垂直； B： $a ⊥ α$ ， $b ⊥ β$ ， $α ∥ β$ ，则 $a$ 、 $b$ 都平行于这两个平行平面的法向量， $a ∥ b$ ，不垂直； D：取 $a = (1, 0, 0) \subset α$ ， $b = (1, 0, 0)$ （ $b ∥ β$ ），此时 $a ∥ b$ ，不垂直. 故只有 C 是 $a ⊥ b$ 的充分条件. 故选 C.

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

核心考点：线面垂直的充分条件

核心方法： $b ⊥ β$ ， $α ∥ β \Rightarrow b ⊥ α$ ， $a \subset α \Rightarrow a ⊥ b$

避坑指南：验证充分性走定理链：面面平行传递线面垂直，再由线面垂直定义得线线垂直；否定时用坐标反例最有力——平行平面法向量同向，两直线可同向。

📖【试题探源与推广】

Tip

试题探源：“位置关系 + 充分条件”是选择题经典组合，2009 福建文第 10 题、2010 湖北文第 4 题同型。

结论推广： $b ⊥ β$ 且 $α ∥ β \Rightarrow b ⊥ α$ ； $a \subset α$ 且 $b ⊥ α \Rightarrow a ⊥ b$ 。

方法推广：构造反例首选”三个坐标面”： $x O y$ 与 $x O z$ 垂直、其余组合平行，向量 $(0, 0, 1)$ 、 $(1, 0, 0)$ 一摆便见分晓。

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

13.03 空间点、线、面位置关系

02.01 常用逻辑用语

类题演练 (Links)

2009-福建卷文-10 单-面面平行充要条件

2010-湖北卷文-04 单-空间线面位置关系命题

2009-浙江卷文-04 单-空间点线面位置关系

2010-湖北卷文-10 单-向量夹角与充分条件

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2008-天津卷文-05 单-线面垂直充分条件

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