2007-安徽卷文-15 填-正弦型多结论判断

本题导读

本题考查正弦型函数的对称性，以及单调区间。

📌【题干】

Question

（2007年安徽卷(文)） 函数 $f(x)=3\sin \left(2x-\frac{\pi }{3}\right)$ 的图象为 $C$，如下结论中正确的是 $\underline{}$．（写出所有正确结论的编号） ① 图象 $C$ 关于直线 $x=\frac{11\pi }{12}$ 对称； ② 图象 $C$ 关于点 $\left(\frac{2\pi }{3},0\right)$ 对称； ③ 函数 $f(x)$ 在区间 $\left(-\frac{\pi }{12},\frac{5\pi }{12}\right)$ 内是增函数； ④ 由 $y=3\sin 2x$ 的图象向右平移 $\frac{\pi }{3}$ 个单位长度可以得到图象 $C$．

🔍【思路分析】

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1. ①：$2\times \frac{11\pi }{12}-\frac{\pi }{3}=\frac{3\pi }{2}$，$\sin \frac{3\pi }{2}=-1$，是对称轴。
2. ②：$2\times \frac{2\pi }{3}-\frac{\pi }{3}=\pi$，$\sin \pi =0$，是对称中心。
3. ③：$x\in \left(-\frac{\pi }{12},\frac{5\pi }{12}\right)\Rightarrow 2x-\frac{\pi }{3}\in \left(-\frac{\pi }{2},\frac{\pi }{2}\right)$，增。
4. ④：向右平移 $\frac{\pi }{3}$ 得 $3\sin \left(2x-\frac{2\pi }{3}\right)\ne f(x)$；应向右平移 $\frac{\pi }{6}$。

✅【答案】

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①②③

✍【详细解析】

Abstract

① 当 $x=\frac{11\pi }{12}$ 时，$2x-\frac{\pi }{3}=\frac{11\pi }{6}-\frac{2\pi }{6}=\frac{3\pi }{2}$，$\sin \frac{3\pi }{2}=-1$，函数取得最小值，故 $x=\frac{11\pi }{12}$ 是对称轴，①正确． ② 当 $x=\frac{2\pi }{3}$ 时，$2x-\frac{\pi }{3}=\frac{4\pi }{3}-\frac{\pi }{3}=\pi$，$\sin \pi =0$，故 $\left(\frac{2\pi }{3},0\right)$ 是对称中心，②正确． ③ $x\in \left(-\frac{\pi }{12},\frac{5\pi }{12}\right)$ 时，$2x-\frac{\pi }{3}\in \left(-\frac{\pi }{2},\frac{\pi }{2}\right)$，正弦函数在此区间单调递增，③正确． ④ $y=3\sin 2x$ 向右平移 $\frac{\pi }{3}$ 得 $y=3\sin \left(2\left(x-\frac{\pi }{3}\right)\right)=3\sin \left(2x-\frac{2\pi }{3}\right)$，与 $f(x)=3\sin \left(2x-\frac{\pi }{3}\right)$ 不同；事实上应向右平移 $\frac{\pi }{6}$，④错误． 综上，正确结论的编号为①②③． （易错点：平移变换”$x$ 加减多少”针对的是整体 $2x$，向右平移 $\phi$ 后解析式为 $f(x-\phi )$；把 $\frac{\pi }{3}$ 当成相位差直接用会错判④。）

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

核心考点：正弦型多结论判断

核心方法：代值验对称：对称轴处三角函数值 $=\pm 1$，对称中心处 $=0$

避坑指南：平移变换对整体 $2x$：向右 $\phi$ 得 $f(x-\phi )$；③的区间要作整体代换 $2x-\frac{\pi }{3}$ 后再看

📖【试题探源与推广】

Tip

试题探源：正弦型函数多结论判断题综合对称性与平移，安徽卷 15 题与理科 6 题互为姊妹题

结论推广：对称轴/中心的验证统一为”相位处函数值为 $\pm 1$ 或 $0$”

方法推广：平移方向的辨析是常年易错点：先写 $f(x-\phi )$ 再展开

🔗【关联脉络】

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知识锚点(Nodes)

• 07.03 三角函数的图象与性质

类题演练(Links)

• 2008-安徽卷文-08 单-正弦型对称轴
• 2007-浙江卷文-12 填-二倍角条件求值
• 2007-新课标卷文-03 单-正弦型函数的五点法作图
• 2010-北京卷文-14 填-正方形滚动周期与面积