2007-山东卷文-12 单-古典概型概率最值

本题导读

本题考查古典概型，以及概率比较。

📌【题干】

Question

（2007年山东卷(文)） 设集合 $A=\{1,2\}$，$B=\{1,2,3\}$，分别从集合 $A$ 和 $B$ 中随机取一个数 $a$ 和 $b$，确定平面上的一个点 $P(a,b)$．记”点 $P(a,b)$ 落在直线 $x+y=n$ 上”为事件 $C_n$（$2⩽n⩽5$，$n\in \mathbb{N}$）．若事件 $C_n$ 的概率最大，则 $n$ 的所有可能值为 ()

A. $3$　　　　　　B. $4$　　　　　　C. $2$ 和 $5$　　　　　　D. $3$ 和 $4$

🔍【思路分析】

破题导航

1. 基本事件共 $2\times 3=6$ 个（等可能）。
2. $a+b=n$ 计数：$n=2$：(1,1)；$n=3$：(1,2),(2,1)；$n=4$：(1,3),(2,2)；$n=5$：(2,3)。
3. $P(C_2)=P(C_5)=\frac{1}{6}$，$P(C_3)=P(C_4)=\frac{1}{3}$ 最大。

✅【答案】

点击查看答案

D

✍【详细解析】

Abstract

基本事件共 $2\times 3=6$ 个，等可能． $a+b=2$：$(1,1)$，1 个；$a+b=3$：$(1,2),(2,1)$，2 个；$a+b=4$：$(1,3),(2,2)$，2 个；$a+b=5$：$(2,3)$，1 个． 故 $P(C_2)=P(C_5)=\frac{1}{6}$，$P(C_3)=P(C_4)=\frac{1}{3}$． 概率最大时 $n=3$ 或 $n=4$，选 D．

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

核心考点：古典概型概率最值

核心方法：枚举 6 个基本事件按 $a+b=n$ 分组计数

避坑指南：$a$ 有 2 种、$b$ 有 3 种共 6 个有序对；$(1,2)$ 与 $(2,1)$ 是不同基本事件

📖【试题探源与推广】

Tip

试题探源：古典概型比较概率大小，概率小题

结论推广：$a+b=n$ 计数呈对称分布，中间和概率最大

方法推广：小样本概型直接枚举；对称计数找”众数”和

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点(Nodes)

• 15.01 古典概型

类题演练(Links)

• 2007-辽宁卷文-10 单-古典概型编号球
• 2007-江西卷文-06 单-古典概型有序对计数
• 2007-上海卷文-09 填-古典概型组合
• 2008-广东卷文-19 解-分层抽样与古典概型