2007-山东卷文-14 填-指数定点与基本不等式

本题导读

本题考查指数函数定点，以及基本不等式。

📌【题干】

Question

（2007年山东卷(文)） 函数 $y=a^{1-x}$（$a>0$，$a\ne 1$）的图象恒过定点 $A$，若点 $A$ 在直线 $mx+ny-1=0$（$mn>0$）上，则 $\frac{1}{m}+\frac{1}{n}$ 的最小值为　　.

🔍【思路分析】

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1. $x=1$ 时 $y=a^0=1$，恒过 $A(1,1)$。
2. $A$ 在直线上：$m+n=1$，$mn>0$ 即 $m,n>0$。
3. $\frac{1}{m}+\frac{1}{n}=\frac{m+n}{mn}=\frac{1}{mn}$；$mn⩽\frac{(m+n{)}^2}{4}=\frac{1}{4}$，故 $\frac{1}{mn}⩾4$。

✅【答案】

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✍【详细解析】

Abstract

$y=a^{1-x}$ 中令 $x=1$，$y=a^0=1$，与 $a$ 无关，故图象恒过 $A(1,1)$． $A$ 在直线 $mx+ny-1=0$ 上：$m+n-1=0$，即 $m+n=1$；又 $mn>0$，故 $m>0$，$n>0$． 由基本不等式 $mn⩽{\left(\frac{m+n}{2}\right)}^2=\frac{1}{4}$（$m=n=\frac{1}{2}$ 时取等）， 所以 $\frac{1}{m}+\frac{1}{n}=\frac{m+n}{mn}=\frac{1}{mn}⩾4$，最小值为 $4$．

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

核心考点：指数定点与基本不等式

核心方法：$a^{1-x}$ 过 $(1,1)$；$\frac{1}{m}+\frac{1}{n}=\frac{m+n}{mn}=\frac{1}{mn}$，均值不等式收口

避坑指南：定点是令指数为 0：$x=1$ 时 $y=1$；$mn>0$ 保证 $m,n$ 同正才能用基本不等式

📖【试题探源与推广】

Tip

试题探源：指数函数定点 + 基本不等式，双知识点交汇填空

结论推广：$a^{g(x)}$ 过 $g(x)=0$ 的点；$m+n$ 定值时 $\frac{1}{mn}$ 最小即 $mn$ 最大

方法推广：“恒过定点”令指数/真数取特殊值；$\frac{1}{m}+\frac{1}{n}$ 型统一到 $\frac{m+n}{mn}$

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点(Nodes)

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