2010-重庆卷文-12 填-基本不等式最值

本题导读

考查基本不等式。$y=t+\frac{1}{t}-4$，$t>0$ 时 $t+\frac{1}{t}⩾2$（$t=1$ 取等），故 $y⩾-2$，最小值 $-2$。

📌【题干】

Question

（2010年重庆卷(文)） 已知 $t>0$，则函数 $y=\frac{t^2-4t+1}{t}$ 的最小值为 $\underline{}$.

🔍【思路分析】

破题导航

1. 分离：$y=t-4+\frac{1}{t}$。
2. $t>0$ 时用基本不等式 $t+\frac{1}{t}⩾2$，注意取等条件 $t=1$。

✅【答案】

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$-2$

✍【详细解析】

Abstract

$y=\frac{t^2-4t+1}{t}=t-4+\frac{1}{t}.$因为 $t>0$，由基本不等式得 $t+\frac{1}{t}⩾2\sqrt{t\cdot \frac{1}{t}}=2,$ 等号当且仅当 $t=1$ 时成立. 所以 $y⩾2-4=-2,$ 即函数的最小值为 $-2$. 故填 $-2$.

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

核心考点：基本不等式求最值

核心方法：$y=t+\frac{1}{t}-4⩾2-4=-2$，$t=1$ 取等

避坑指南：先分离常数再凑"$t+\frac{1}{t}$"结构；取等条件 $t=1>0$ 满足，最小值可取到；别忘验证取等条件在定义域内。

📖【试题探源与推广】

Tip

试题探源：分式函数先分离，再用基本不等式。

结论推广：$t+\frac{1}{t}⩾2$（$t>0$，$t=1$ 取等）；分式 $\frac{t^2-4t+1}{t}$ 分离后是标准结构。

方法推广：“对勾函数”最值三步：分离、用不等式、验取等；$t<0$ 时符号相反要另讨论（本题 $t>0$ 免）。

🔗【关联脉络】

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