2007-山东卷文-20 解-直四棱柱垂直与线面平行

本题导读

本题考查线面垂直。

📌【题干】

Question

（2007年山东卷(文)） 如图，在直四棱柱 $ABCD-A_1{B}_1{C}_1{D}_1$ 中，已知 $DC=D{D}_1=2AD=2AB$，$AD\perp DC$，$AB\parallel DC$． （1）求证：$D_{1}C\perp A{C}_1$； （2）设 $E$ 是 $DC$ 上一点，试确定 $E$ 的位置，使 $D_{1}E\parallel$ 平面 $A_{1}BD$，并说明理由．

🔍【思路分析】

破题导航

1. 设 $AD=AB=t$，建系 $D(0,0,0)$、$C(2t,0,0)$、$A(0,t,0)$、$B(t,t,0)$、$D_1(0,0,2t)$、$A_1(0,t,2t)$、$C_1(2t,0,2t)$。 （1）$\overrightarrow{D_{1}C}=(2t,0,-2t)$，$\overrightarrow{A{C}_1}=(2t,-t,2t)$，点积 $=0$。 （2）平面 $A_{1}BD$ 法向量 $\mathbf{n}=(-2,2,-1)t^2$ 方向；$\overrightarrow{D_{1}E}=(s,0,-2t)$，$\overrightarrow{D_{1}E}\cdot \mathbf{n}=2t^2(t-s)=0\Rightarrow s=t$，$E$ 为 $DC$ 中点。

✅【答案】

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（1）证明见解析；（2）$E$ 为 $DC$ 的中点

✍【详细解析】

Abstract

设 $AD=AB=t$（$t>0$），建立空间直角坐标系，使底面 $ABCD$ 在 $xOy$ 平面内，取 $D=(0,0,0)$，$C=(2t,0,0)$，$A=(0,t,0)$，$B=(t,t,0)$；由 $D{D}_1=2t$ 得 $D_1=(0,0,2t)$，$A_1=(0,t,2t)$，$C_1=(2t,0,2t)$． （1）$\overrightarrow{D_{1}C}=(2t,0,-2t)$，$\overrightarrow{A{C}_1}=(2t,-t,2t)$， $\overrightarrow{D_{1}C}\cdot \overrightarrow{A{C}_1}=2t\cdot 2t+0\cdot (-t)+(-2t)\cdot 2t=0.$ 故 $D_{1}C\perp A{C}_1$． （2）设 $E=(s,0,0)$，$0⩽s⩽2t$．平面 $A_{1}BD$ 内两不共线向量 $\overrightarrow{D{A}_1}=(0,t,2t)$、$\overrightarrow{DB}=(t,t,0)$， 其一个法向量 $\mathbf{n}=\overrightarrow{D{A}_1}\times \overrightarrow{DB}=t^2(-2,2,-1)$． $\overrightarrow{D_{1}E}=(s,0,-2t)$．要使 $D_{1}E\parallel$ 平面 $A_{1}BD$，需其方向向量与法向量垂直，即 $\overrightarrow{D_{1}E}\cdot \mathbf{n}=(-2)\cdot s\cdot t^2+2\cdot 0\cdot t^2+(-1)\cdot (-2t)\cdot t^2=2t^2(t-s)=0.$ 由 $t>0$ 得 $s=t$，此时 $E=(t,0,0)$ 即 $DC$ 的中点，且 $D_1\notin$ 平面 $A_{1}BD$，方向向量垂直法向量，故 $D_{1}E\parallel$ 平面 $A_{1}BD$． （几何法佐证：连 $A{D}_1$ 交 $A_{1}D$ 于其中点 $M$，连 $AE$ 交 $BD$ 于 $N$；当 $E$ 为 $DC$ 中点时可证 $MN\parallel D_{1}E$，从而线面平行．）

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

核心考点：直四棱柱垂直与线面平行

核心方法：建系点积证线线垂直；法向量 + 方向向量点积为 0 定线面平行

避坑指南：线面平行还需 $D_1$ 在平面外；设 $E(s,0,0)$ 后别忘了 $0⩽s⩽2t$

📖【试题探源与推广】

Tip

试题探源：直四棱柱垂直与位置确定，立几大题标准结构

结论推广：$DC=D{D}_1$ 使侧面 $DC{C}_1{D}_1$ 为正方形，几何法亦通

方法推广：立几大题两问：证垂直（点积）+ 定位置（法向量方程）；坐标法通吃

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点(Nodes)

• 13.03 空间点、线、面位置关系
• 13.04 立体几何高阶：定理、模型与性质

类题演练(Links)

• 2009-山东卷文-18 解-线面平行与面面垂直
• 2008-大纲卷II文-20 解-正四棱柱垂直二面角
• 2008-江西卷文-20 解-线面垂直与二面角
• 2007-浙江卷文-20 解-线面垂直与线面角