2007-浙江卷文-20 解-线面垂直与线面角

本题导读

本题考查线面垂直。

📌【题干】

Question

（2007年浙江卷(文)） 在如图所示的几何体中，$EA\perp$ 平面 $ABC$，$DB\perp$ 平面 $ABC$，$AC\perp BC$，且 $AC=BC=BD=2AE$，$M$ 是 $AB$ 的中点． （1）求证：$CM\perp EM$； （2）求 $DE$ 与平面 $EMC$ 所成角的正切值． 第 20 题图

🔍【思路分析】

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1. （1）等腰三角形三线合一：$CM\perp AB$；又 $EA\perp$ 面 $ABC$ 得 $EA\perp CM$；$AB\cap AE=A$，故 $CM\perp$ 面 $EAB$，从而 $CM\perp EM$。
2. （2）坐标法：设 $AE=1$，则 $C(0,0,0)$，$A(2,0,0)$，$B(0,2,0)$，$E(2,0,1)$，$D(0,2,2)$，$M(1,1,0)$。
3. 方向向量 $\mathbf{d}=\overrightarrow{DE}$，法向量 $\mathbf{n}=\overrightarrow{CM}\times \overrightarrow{EM}$，$\sin \theta =\frac{|\mathbf{d}\cdot \mathbf{n}|}{|\mathbf{d}||\mathbf{n}|}$，再换算 $\tan \theta$。

✅【答案】

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（1）见解析；（2）$\tan \theta =\sqrt{2}$

✍【详细解析】

Abstract

（1）因为 $AC=BC$，$M$ 是 $AB$ 的中点，所以 $CM\perp AB$． 又 $EA\perp$ 平面 $ABC$，$CM\subset$ 平面 $ABC$，所以 $EA\perp CM$． 而 $AB\cap AE=A$，$AB$，$AE\subset$ 平面 $EAB$，所以 $CM\perp$ 平面 $EAB$，又 $EM\subset$ 平面 $EAB$，故 $CM\perp EM$． （2）方法一（坐标法）：建立如图所示的直角坐标系，使平面 $ABC$ 为 $z=0$，并取 $C(0,0,0)$，$A(2,0,0)$，$B(0,2,0)$．由 $AC=BC=BD=2AE$，可令 $AE=1$，于是 $E(2,0,1)$，$D(0,2,2)$，$M(1,1,0)$． 因此 $\overrightarrow{CM}=(1,1,0)$，$\overrightarrow{EM}=(-1,1,-1)$，$\overrightarrow{CM}\cdot \overrightarrow{EM}=1\times (-1)+1\times 1+0\times (-1)=0$（与（1）一致）． 设直线 $DE$ 与平面 $EMC$ 所成的角为 $\theta$，取 $DE$ 的方向向量 $\mathbf{d}=\overrightarrow{DE}=(2,-2,-1)$，平面 $EMC$ 的法向量 $\mathbf{n}=\overrightarrow{CM}\times \overrightarrow{EM}=(-1,1,2)$（可取 $\mathbf{n}=(1,-1,-2)$，方向相反不影响）． 于是 $|\mathbf{d}|=3$，$|\mathbf{n}|=\sqrt{6}$，$|\mathbf{d}\cdot \mathbf{n}|=|2\times (-1)+(-2)\times 1+(-1)\times 2|=6$． 所以 $\sin \theta =\frac{|\mathbf{d}\cdot \mathbf{n}|}{|\mathbf{d}||\mathbf{n}|}=\frac{6}{3\sqrt{6}}=\frac{\sqrt{6}}{3},\cos \theta =\sqrt{1-\frac{6}{9}}=\frac{1}{\sqrt{3}},\tan \theta =\frac{\sin \theta }{\cos \theta }=\sqrt{2}.$ 方法二（综合法）：连结 $CE$．在 Rt$△EAC$ 中 $\tan \angle AEC=\frac{AC}{AE}=2$；同理由对称性，$E$ 到平面 $EMC$ 的投影可归结为直角梯形 $DBEA$ 内的计算（官方另解），所得 $\tan \theta =\sqrt{2}$ 一致，此处从略．

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

核心考点：线面垂直与线面角

核心方法：综合法：等腰三线合一 + 线面垂直性质定理；坐标法：法向量与方向向量夹角公式

避坑指南：线面角 $\sin \theta =\frac{|\mathbf{d}\cdot \mathbf{n}|}{|\mathbf{d}||\mathbf{n}|}$ 用正弦不是余弦；建系后各点坐标别抄错

📖【试题探源与推广】

Tip

试题探源：立几解答题主抓手：垂直证明用综合法，角度计算用向量法，双轨并行

结论推广：$EA\perp$ 面 $ABC$ 与 $DB\perp$ 面 $ABC$ 说明两竖线平行，图形是”双垂线”模型

方法推广：线面角坐标法 $\sin \theta =\frac{|\mathbf{d}\cdot \mathbf{n}|}{|\mathbf{d}||\mathbf{n}|}$ 是通用公式；综合法（体积法/射影法）可验算

🔗【关联脉络】

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知识锚点(Nodes)

• 21.02 空间向量与线面位置关系判定
• 21.03 空间向量求角

类题演练(Links)

• 2011-浙江卷文-20 解-线面垂直与二面角
• 2009-福建卷文-20 解-折叠与线面垂直
• 2014-大纲卷理-19 解-直线与平面垂直的性质与判定
• 2013-大纲卷理-19 解-线面垂直