2008-江西卷文-20 解-线面垂直与二面角

本题导读

以 $O$ 为原点、三侧棱为轴建系，$A(2,0,0)$ 等；由平面过 $E,F$ 与截距式解出 $A_1\left(\frac{3}{2},0,0\right)$、$B_1(0,3,0)$、$C_1(0,0,3)$；(2) 平面 $O{A}_1{B}_1$ 即 $z=0$，平面 $C_1{A}_1{B}_1$ 方程 $2x+y+z=3$，夹角余弦 $\frac{1}{\sqrt{6}}$，即 $\arctan \sqrt{5}$.

📌【题干】

Question

（2008年江西卷(文)） 如图，正三棱锥 $O-ABC$ 的三条侧棱 $OA$、$OB$、$OC$ 两两垂直，且长度均为 2. $E$、$F$ 分别是 $AB$、$AC$ 的中点，$H$ 是 $EF$ 的中点，过 $EF$ 的一个平面与侧棱 $OA$、$OB$、$OC$ 或其延长线分别相交于 $A_1$、$B_1$、$C_1$，已知 $O{A}_1=\frac{3}{2}$.

(1) 证明：$B_1{C}_1\perp$ 平面 $OAH$；

(2) 求二面角 $O-A_1{B}_1-C_1$ 的大小.

🔍【思路分析】

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建系：$O(0,0,0)$，$A(2,0,0)$，$B(0,2,0)$，$C(0,0,2)$，$E(1,1,0)$，$F(1,0,1)$. 设平面截三轴于 $\frac{3}{2},t,u$：代 $E,F$ 解得 $t=u=3$，故 $B_1(0,3,0)$，$C_1(0,0,3)$. (1) $B_1{C}_1=(0,-3,3)\parallel (0,-1,1)$，而平面 $OAH$ 的法向量即 $(0,-1,1)$（$OA$ 沿 $x$ 轴），得垂直. (2) 平面 $O{A}_1{B}_1$：$z=0$；平面 $C_1{A}_1{B}_1$：$2x+y+z=3$，法向量 $(2,1,1)$；$\cos \theta =\frac{1}{\sqrt{6}}$，$\theta =\arctan \sqrt{5}$.

✅【答案】

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(1) 见解析；(2) $\arctan \sqrt{5}$

✍【详细解析】

Abstract

以 $O$ 为原点，$OA$、$OB$、$OC$ 所在直线为 $x$、$y$、$z$ 轴建系，则 $O(0,0,0)$，$A(2,0,0)$，$B(0,2,0)$，$C(0,0,2)$，$E(1,1,0)$，$F(1,0,1)$，$H\left(1,\frac{1}{2},\frac{1}{2}\right)$. 由 $O{A}_1=\frac{3}{2}$ 且 $A_1$ 在直线 $OA$ 上，设 $A_1\left(\frac{3}{2},0,0\right)$，$B_1(0,t,0)$，$C_1(0,0,u)$. 平面 $A_1{B}_1{C}_1$ 的截距式方程为 $\frac{x}{3/2}+\frac{y}{t}+\frac{z}{u}=1$. 代入 $E(1,1,0)$：$\frac{2}{3}+\frac{1}{t}=1$，得 $t=3$；代入 $F(1,0,1)$：$\frac{2}{3}+\frac{1}{u}=1$，得 $u=3$. 所以 $B_1(0,3,0)$，$C_1(0,0,3)$. (1) $\overrightarrow{B_1{C}_1}=(0,-3,3)$. 平面 $OAH$ 内，$\overrightarrow{OA}=(2,0,0)$，$\overrightarrow{OH}=\left(1,\frac{1}{2},\frac{1}{2}\right)$. $\overrightarrow{OA}\times \overrightarrow{OH}=(0,-1,1)$（取 $\mathbf{n}=(0,-1,1)$，验证 $\mathbf{n}\cdot \overrightarrow{OA}=0$、$\mathbf{n}\cdot \overrightarrow{OH}=0$ 成立）. 而 $\overrightarrow{B_1{C}_1}=3(0,-1,1)=3\mathbf{n}$，故 $B_1{C}_1\perp$ 平面 $OAH$. (2) 平面 $O{A}_1{B}_1$ 即坐标面 $z=0$，其法向量 ${\mathbf{n}}_1=(0,0,1)$. 平面 $C_1{A}_1{B}_1$ 过 $\left(\frac{3}{2},0,0\right)$、$(0,3,0)$、$(0,0,3)$，方程为 $\frac{2x}{3}+\frac{y}{3}+\frac{z}{3}=1$，即 $2x+y+z=3$，法向量 ${\mathbf{n}}_2=(2,1,1)$. $\cos ⟨{\mathbf{n}}_1,{\mathbf{n}}_2⟩=\frac{|1|}{\sqrt{6}}=\frac{1}{\sqrt{6}}$. 由图可知二面角 $O-A_1{B}_1-C_1$ 为锐角，设其大小为 $\theta$，则 $\cos \theta =\frac{1}{\sqrt{6}}$， $\tan \theta =\sqrt{6-1}=\sqrt{5}$，故 $\theta =\arctan \sqrt{5}$. 所以二面角 $O-A_1{B}_1-C_1$ 的大小为 $\arctan \sqrt{5}$.

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

核心考点：线面垂直判定与二面角

核心方法：线线垂直 + 线面垂直定理证垂直，建系求二面角

避坑指南：证线面垂直需”线垂直面内两相交直线”两条都齐；二面角用向量时注意法向量方向，钝角锐角要判准

📖【试题探源与推广】

Tip

试题探源：线面垂直与二面角（2010 广东文 18、2011 福建文 20）

结论推广：可推广为求线面角、异面直线角、点到面距离

方法推广：证垂直（定理）+ 建系（向量）两条腿，缺一不可

🔗【关联脉络】

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知识锚点 (Nodes)

• 13.05 几何法求空间角专题
• 13.03 空间点、线、面位置关系

类题演练 (Links)

• 2010-江西卷文-20 解-面面垂直线面角二面角
• 2011-浙江卷文-20 解-线面垂直与二面角
• 2010-重庆卷文-20 解-线面垂直二面角
• 2011-湖北卷文-18 解-三棱柱垂直与二面角