2015-新课标II卷理-02 单-复数运算

本题导读

本题考查复数的代数运算及复数相等的充要条件。通过将复数乘积展开并整理为标准形式 $a+bi$，利用实部与实部相等、虚部与虚部相等的原则建立方程组求解。

📌【题干】

Question

（2015年新课标Ⅱ(理)） 若 $a$ 为实数，且 $(2+ai)(a-2i)=-4i$，则 $a=$ ()

A. -1　　　　　　　B. 0　　　　　　　C. 1　　　　　　　D. 2

🔍【思路分析】

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1. 展开等式左侧：利用复数乘法的分配律，将 $(2+ai)(a-2i)$ 展开。注意虚数单位 $i$ 的性质：$i^2=-1$。
2. 整理为标准形式：将展开后的项按照实部和虚部进行归类，整理成 $A+Bi$ 的形式。
3. 利用复数相等建立方程：根据复数相等的定义，左侧实部应等于右侧实部（0），左侧虚部应等于右侧虚部（-4）。
4. 解方程求 $a$：求解所得方程组，确定实数 $a$ 的值。

✅【答案】

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B

✍【详细解析】

Abstract

第一步：展开左侧乘积 $(2+ai)(a-2i)=2a-4i+a^{2}i-2a{i}^2$ 由于 $i^2=-1$，则 $-2a{i}^2=-2a(-1)=2a$。 代入原式整理得： $(2a+2a)+(a^2-4)i=4a+(a^2-4)i$

第二步：对比等式右侧 已知等式右侧为 $-4i$，即 $0+(-4)i$。根据复数相等定义，实部与虚部分别相等： $\{\begin{array}{l}4a=0\\ a^2-4=-4\end{array}$

第三步：求解 $a$ 由第一个方程 $4a=0$ 直接得： $a=0$ 代入第二个方程校验：$0^2-4=-4$，等式成立。 故实数 $a$ 的值为 0。

答案：B

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

• 核心考点：复数乘法运算；复数相等的充要条件。
• 核心方法：代数化简法。
• 避坑指南：计算展开式时务必注意 $i^2=-1$ 带来的符号变化。此外，右侧 $-4i$ 的实部隐含为 0，不能遗漏。

📖【试题探源与推广】

Tip

*结论推广: 两个复数 $a+bi$ 与 $c+di$ 相等，当且仅当 $a=c$ 且 $b=d$。 *方法推广: 处理含参复数等式，统一化为 $A+Bi$ 的标准形式是通用解题流程。

• 相关知识点：共轭复数、复平面的几何意义。

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点(Nodes)

• 18.16 参数方程与复数变换
• 12.01 数系的扩充与复数

类题演练(Links)

• 2016-天津卷理-09
• 2015-天津卷理-9
• 2014-安徽卷理-01 单-复数除法