2010-广东卷文-16 解-三角周期与求值

本题导读

考查三角求值。由 $T=\frac{\pi }{2}$ 得 $\omega =4$，$f(x)=3\sin \left(4x+\frac{\pi }{6}\right)$。$f(0)=3\sin \frac{\pi }{6}=\frac{3}{2}$。$f\left(\frac{\alpha }{4}+\frac{\pi }{12}\right)=3\sin \left(\alpha +\frac{\pi }{2}\right)=3\cos \alpha =\frac{9}{5}$，得 $\cos \alpha =\frac{3}{5}$，故 $\sin \alpha =\pm \frac{4}{5}$。

📌【题干】

Question

（2010年广东卷(文)） 设函数 $f(x)=3\sin \left(\omega x+\frac{\pi }{6}\right)$，$\omega >0$，$x\in (-\infty ,+\infty )$，且以 $\frac{\pi }{2}$ 为最小正周期.

(1)求 $f(0)$；

(2)求 $f(x)$ 的解析式；

(3)已知 $f\left(\frac{\alpha }{4}+\frac{\pi }{12}\right)=\frac{9}{5}$，求 $\sin \alpha$ 的值.

🔍【思路分析】

破题导航

1. 由 $T=\frac{2\pi }{\omega }=\frac{\pi }{2}$ 解出 $\omega$。
2. 代入 $x=0$ 求 $f(0)$，写出解析式。 3.（3）把 $\frac{\alpha }{4}+\frac{\pi }{12}$ 代入，用诱导公式化为 $\cos \alpha$，再由 ${\sin }^2\alpha +{\cos }^2\alpha =1$ 求 $\sin \alpha$。

✅【答案】

点击查看答案

(1) $\frac{3}{2}$

(2) $f(x)=3\sin \left(4x+\frac{\pi }{6}\right)$

(3) $\sin \alpha =\pm \frac{4}{5}$

✍【详细解析】

Abstract

（1）由最小正周期 $T=\frac{\pi }{2}$，得 $\frac{2\pi }{\omega }=\frac{\pi }{2}$，故 $\omega =4$. 于是 $f(0)=3\sin \left(0+\frac{\pi }{6}\right)=3\sin \frac{\pi }{6}=\frac{3}{2}$. （2）$f(x)$ 的解析式为 $f(x)=3\sin \left(4x+\frac{\pi }{6}\right).$ （3）由 $f\left(\frac{\alpha }{4}+\frac{\pi }{12}\right)=\frac{9}{5}$，得 $3\sin \left(4\cdot \frac{\alpha }{4}+4\cdot \frac{\pi }{12}+\frac{\pi }{6}\right)=3\sin \left(\alpha +\frac{\pi }{3}+\frac{\pi }{6}\right)=3\sin \left(\alpha +\frac{\pi }{2}\right)=3\cos \alpha =\frac{9}{5}.$ 故 $\cos \alpha =\frac{3}{5}$. 由 ${\sin }^2\alpha +{\cos }^2\alpha =1$，得 ${\sin }^2\alpha =1-\frac{9}{25}=\frac{16}{25},故\sin \alpha =\pm \frac{4}{5}.$

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

核心考点：正弦型函数周期与求值

核心方法：$T=\frac{\pi }{2}$ 得 $\omega =4$；$f(0)=3\sin \frac{\pi }{6}=\frac{3}{2}$；$f\left(\frac{\alpha }{4}+\frac{\pi }{12}\right)=3\cos \alpha =\frac{9}{5}$ 得 $\sin \alpha =\pm \frac{4}{5}$

避坑指南：周期 $T=\frac{2\pi }{\omega }$；$\sin \left(\alpha +\frac{\pi }{2}\right)=\cos \alpha$ 是诱导公式；$\sin \alpha$ 开方要取 $\pm$。

📖【试题探源与推广】

Tip

试题探源：正弦型函数三要素：由周期定 $\omega$、由代值求函数值、由函数值反求角。

结论推广：$T=\frac{2\pi }{\omega }$；$\sin \left(\alpha +\frac{\pi }{2}\right)=\cos \alpha$；${\sin }^2\alpha +{\cos }^2\alpha =1$。

方法推广：求 $\sin \alpha$ 时由 $\cos \alpha$ 用平方关系，注意正负两解（无象限限制时）。

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

• 07.03 三角函数的图象与性质

类题演练 (Links)

• 2009-山东卷文-12 单-奇函数周期
• 2011-北京卷文-15 解-三角恒等变换最值
• 2009-广东卷文-09 单-降幂奇偶周期
• 2012-北京卷文-15 解-三角化简周期与单调