2009-广东卷文-16 解-向量垂直与差角

本题导读

考查向量与三角综合。（1）$\sin \theta =2\cos \theta$，$5{\cos }^2\theta =1$，$\sin \theta \cos \theta =\frac{2}{5}$；（2）化简得 $\sin \phi =\cos \phi$，$\cos \phi =\frac{\sqrt{2}}{2}$。

📌【题干】

Question

（2009年广东卷(文)） 已知向量 $\mathbf{a}=(\sin \theta ,-2)$ 与 $\mathbf{b}=(1,\cos \theta )$ 互相垂直，其中 $\theta \in \left(0,\frac{\pi }{2}\right)$.

(1)求 $\sin \theta \cos \theta$ 的值；

(2)若 $5\cos (\theta -\phi )=3\sqrt{5}\cos \phi$，$0<\phi <\frac{\pi }{2}$，求 $\cos \phi$ 的值.

🔍【思路分析】

破题导航

1.（1）$\mathbf{a}\cdot \mathbf{b}=\sin \theta -2\cos \theta =0$，即 $\sin \theta =2\cos \theta$。 2. 结合 ${\sin }^2\theta +{\cos }^2\theta =1$：$5{\cos }^2\theta =1$，$\cos \theta =\frac{\sqrt{5}}{5}$，$\sin \theta =\frac{2\sqrt{5}}{5}$。 3. $\sin \theta \cos \theta =\frac{2\sqrt{5}}{5}\times \frac{\sqrt{5}}{5}=\frac{2}{5}$。 4.（2）展开：$5\cos \theta \cos \phi +5\sin \theta \sin \phi =3\sqrt{5}\cos \phi$，代值得 $\sqrt{5}\cos \phi +2\sqrt{5}\sin \phi =3\sqrt{5}\cos \phi$。 5. $\sin \phi =\cos \phi$，$0<\phi <\frac{\pi }{2}$，$\phi =\frac{\pi }{4}$，$\cos \phi =\frac{\sqrt{2}}{2}$。

✅【答案】

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(1) $\frac{2}{5}$；(2)$\frac{\sqrt{2}}{2}$

✍【详细解析】

Abstract

（1）因为 $\mathbf{a}$ 与 $\mathbf{b}$ 互相垂直，所以 $\mathbf{a}\cdot \mathbf{b}=\sin \theta -2\cos \theta =0$， 即 $\sin \theta =2\cos \theta$。又 $\theta \in \left(0,\frac{\pi }{2}\right)$，$\sin \theta >0$，$\cos \theta >0$，且 ${\sin }^2\theta +{\cos }^2\theta =1$。 代入 $\sin \theta =2\cos \theta$，得 $5{\cos }^2\theta =1$。 因此 $\cos \theta =\frac{\sqrt{5}}{5}$，$\sin \theta =\frac{2\sqrt{5}}{5}$，从而 $\sin \theta \cos \theta =\frac{2}{5}$。 （2）由 $5\cos (\theta -\phi )=3\sqrt{5}\cos \phi$ 及余弦差公式，得 $5(\cos \theta \cos \phi +\sin \theta \sin \phi )=3\sqrt{5}\cos \phi$。 代入上一问的结果，得 $\sqrt{5}\cos \phi +2\sqrt{5}\sin \phi =3\sqrt{5}\cos \phi$，从而 $\sin \phi =\cos \phi$。 由于 $0<\phi <\frac{\pi }{2}$，所以 $\phi =\frac{\pi }{4}$，故 $\cos \phi =\frac{\sqrt{2}}{2}$。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

核心考点：向量垂直与差角公式

核心方法：$\mathbf{a}\perp \mathbf{b}⟺$ 坐标数量积为零；$5\cos (\theta -\phi )$ 展开后整体代换

避坑指南：$\sin \theta =2\cos \theta$ 与同角关系联立得 $\sin \theta \cos \theta =\frac{2}{5}$；第二问化出 $\sin \phi =\cos \phi$。

📖【试题探源与推广】

Tip

试题探源：第一问的结果（$\sin \theta$，$\cos \theta$ 的值）是第二问的输入，别重算。

结论推广：$\cos (\theta -\phi )=\cos \theta \cos \phi +\sin \theta \sin \phi$，两项系数都是 $5$。

方法推广：$0<\phi <\frac{\pi }{2}$ 时 $\sin \phi =\cos \phi$ 唯一解 $\phi =\frac{\pi }{4}$。

🔗【关联脉络】

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知识锚点 (Nodes)

• 10.01 两角和与差及辅助角公式
• 09.03 平面向量的数量积

类题演练 (Links)

• 2009-大纲卷II文-04 单-同角三角函数
• 2009-上海卷文-20 解-向量平行垂直解三角形
• 2009-大纲卷I文-08 单-向量夹角
• 2009-山东卷文-17 解-三角变换与解三角形