2007-新课标卷文-23 解-极坐标方程化直角坐标

本题导读

本题考查极坐标方程化直角坐标。

📌【题干】

Question

（2007年新课标卷(文)） $\odot O_1$ 和 $\odot O_2$ 的极坐标方程分别为 $\rho =4\cos \theta$，$\rho =-4\sin \theta$． （1）把 $\odot O_1$ 和 $\odot O_2$ 的极坐标方程化为直角坐标方程； （2）求经过 $\odot O_1$，$\odot O_2$ 交点的直线的直角坐标方程．

🔍【思路分析】

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1. 利用 $x=\rho \cos \theta$，$y=\rho \sin \theta$，${\rho }^2=x^2+y^2$，两边同乘 $\rho$ 后代入。
2. （2）两圆方程相减消去二次项，得公共弦所在直线；可再代回验证交点。

✅【答案】

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（1）$(x-2{)}^2+y^2=4$，$x^2+(y+2{)}^2=4$；（2）$x+y=0$

✍【详细解析】

Abstract

（1）由 $x=\rho \cos \theta$，$y=\rho \sin \theta$，${\rho }^2=x^2+y^2$： 对 $\rho =4\cos \theta$ 两边同乘 $\rho$：${\rho }^2=4\rho \cos \theta =4x$，即 $x^2+y^2-4x=0$，配方得 $(x-2{)}^2+y^2=4$； 对 $\rho =-4\sin \theta$ 两边同乘 $\rho$：${\rho }^2=-4\rho \sin \theta =-4y$，即 $x^2+y^2+4y=0$，配方得 $x^2+(y+2{)}^2=4$． （2）两圆交点满足两方程，相减：$-4x-4y=0$，即 $x+y=0$． 代入验证：$x^2+x^2-4x=0\Rightarrow x=0$ 或 $x=2$，交点 $(0,0)$ 与 $(2,-2)$，连线斜率 $-1$，直线方程 $y=-x$，即 $x+y=0$．

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

核心考点：极坐标方程化直角坐标

核心方法：两边同乘 $\rho$ 后代入 $x=\rho \cos \theta$ 等

避坑指南：$\rho =4\cos \theta$ 型要同乘 $\rho$ 凑 ${\rho }^2$ 与 $\rho \cos \theta$；公共弦由两圆方程相减得到，勿忘验证交点。

📖【试题探源与推广】

Tip

试题探源：极直互化是选修 4-4 的核心运算。

结论推广：$\rho =2a\cos \theta ⟺(x-a{)}^2+y^2=a^2$，$\rho =-2a\sin \theta ⟺x^2+(y+a{)}^2=a^2$。

方法推广：互化靠”同乘 $\rho$“，两圆公共弦靠”相减消二次项”。

🔗【关联脉络】

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