2015-新课标II卷文-23 解-极坐标方程

本题导读

极坐标与参数方程。第一问把两个极坐标方程化成直角坐标再联立；第二问抓住 $C_1$ 是过极点的直线，$|AB|$ 就是两条射线上极径之差的绝对值，化为三角函数求最值。

📌【题干】

Question

（2015年新课标II卷(文)） 在直角坐标系 $xOy$ 中，曲线 $C_1:\{\begin{array}{l}x=t\cos \alpha ,\\ y=t\sin \alpha ,\end{array}$（$t$ 为参数，$t\ne 0$），其中 $0⩽\alpha <\pi$.在以 $O$ 为极点，$x$ 轴正半轴为极轴的极坐标系中，曲线 $C_2:\rho =2\sin \theta$，$C_3:\rho =2\sqrt{3}\cos \theta$.

(1) 求 $C_2$ 与 $C_3$ 交点的直角坐标；

(2) 若 $C_1$ 与 $C_2$ 相交于点 $A$，$C_1$ 与 $C_3$ 相交于点 $B$，求 $|AB|$ 的最大值.

🔍【思路分析】

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1. （1）用 ${\rho }^2=x^2+y^2$、$\rho \sin \theta =y$、$\rho \cos \theta =x$ 把两方程化为直角坐标方程（两个圆），联立求解。
2. （2）$C_1$ 是过原点、倾角 $\alpha$ 的直线（除原点）。在极坐标下 $C_1$ 就是射线 $\theta =\alpha$。
3. $A$、$B$ 都在该射线上，$|AB|$ 等于两点的极径之差的绝对值，化为关于 $\alpha$ 的三角函数求最值。

✅【答案】

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(1) 交点的直角坐标为 $(0,0)$ 与 $\left(\frac{\sqrt{3}}{2},\frac{3}{2}\right)$

(2) $|AB|$ 的最大值为 $4$

✍【详细解析】

Abstract

（1） 对 $C_2:\rho =2\sin \theta$，两边同乘 $\rho$ 得 ${\rho }^2=2\rho \sin \theta$，化为直角坐标方程：

$x^2+y^2=2y,\text{即}{x}^2+(y-1{)}^2=1.$

对 $C_3:\rho =2\sqrt{3}\cos \theta$，同理得

$x^2+y^2=2\sqrt{3}x,\text{即}(x-\sqrt{3}{)}^2+y^2=3.$

两式相减得 $2y=2\sqrt{3}x$，即 $y=\sqrt{3}x$. 代入 $x^2+y^2=2y$：

$x^2+3x^2=2\sqrt{3}x⟹4x^2-2\sqrt{3}x=0⟹x=0\text{或}x=\frac{\sqrt{3}}{2}.$

当 $x=0$ 时 $y=0$；当 $x=\frac{\sqrt{3}}{2}$ 时 $y=\frac{3}{2}$.

故 $C_2$ 与 $C_3$ 交点的直角坐标为 $(0,0)$ 与 $\left(\frac{\sqrt{3}}{2},\frac{3}{2}\right)$.

（2） 曲线 $C_1$ 的参数方程消去 $t$ 即为 $y=(\tan \alpha )x$，表示过原点、倾斜角为 $\alpha$ 的直线（去掉原点），在极坐标系中即射线 $\theta =\alpha$（$\rho \ne 0$）。

点 $A$ 是射线 $\theta =\alpha$ 与 $C_2$ 的交点，把 $\theta =\alpha$ 代入 $\rho =2\sin \theta$ 得

${\rho }_A=2\sin \alpha .$

点 $B$ 是射线 $\theta =\alpha$ 与 $C_3$ 的交点，代入 $\rho =2\sqrt{3}\cos \theta$ 得

${\rho }_B=2\sqrt{3}\cos \alpha .$

两点都在同一条射线上，故

$|AB|=|{\rho }_A-{\rho }_B|=\left|2\sin \alpha -2\sqrt{3}\cos \alpha \right|.$

提取系数 $4$ 并利用辅助角公式：

$2\sin \alpha -2\sqrt{3}\cos \alpha =4\left(\frac{1}{2}\sin \alpha -\frac{\sqrt{3}}{2}\cos \alpha \right)=4\sin \left(\alpha -\frac{\pi }{3}\right).$

故

$|AB|=4\left|\sin \left(\alpha -\frac{\pi }{3}\right)\right|.$

因为 $0⩽\alpha <\pi$，当 $\alpha -\frac{\pi }{3}=\frac{\pi }{2}$，即 $\alpha =\frac{5\pi }{6}$ 时，$\left|\sin \left(\alpha -\frac{\pi }{3}\right)\right|$ 取到最大值 $1$.

所以 $|AB|$ 的最大值为 $4$.

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

1. 核心考点：极坐标与直角坐标的互化；参数方程表示的曲线；极径的几何意义与两点间距离的最值。

2. 核心方法：同一直线（射线）上两点的距离等于”极径之差的绝对值”——这是极坐标下求距离最快的一招，可绕过坐标运算直接得到三角函数表达式。

3. 避坑指南：① $C_1$ 的参数方程中 $t\ne 0$，说明它不含原点，求交点时要注意取舍；② $\rho$ 为负时点会落在射线反向延长线上，本题求距离要用绝对值而不是简单的 ${\rho }_A-{\rho }_B$。

📖【试题探源与推广】

Tip

1. 试题探源：“极坐标与参数方程”是新课标卷第 23 题（选做）的固定考点，2012~2015 年连续考查”两圆交点 + 极径距离最值”的组合。

2. 结论推广: 一般地，若两条曲线在射线 $\theta =\alpha$ 上的极径分别为 ${\rho }_1(\alpha )$、${\rho }_2(\alpha )$，则两交点间的距离为 $|{\rho }_1-{\rho }_2|$，其最大值可通过辅助角公式化为 $A|\sin (\alpha +\phi )|$ 的形式直接读出。这是极坐标法相对直角坐标法的最大优势。

3. 方法推广: 极坐标与参数方程题的决策：① 求交点坐标 → 一律化成直角坐标方程联立（两圆相减得公共弦所在直线，最省力）；② 求距离、面积、角度 → 优先用极径与极角直接表达，再用三角恒等变换求最值；③ 参数方程先消参认清曲线类型，再选方法。

🔗【关联脉络】

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知识锚点 (Nodes)

• 18.16 参数方程与复数变换

类题演练 (Links)

• 2015-新课标II卷理-23 解-参数方程
• 2016-全国卷I文-23