2007-江苏卷-10 单-区域变换后的面积

本题导读

本题考查线性规划区域的变换，以及平面区域的面积。

📌【题干】

Question

（2007年江苏卷） 在平面直角坐标系 $xOy$，已知平面区域 $A=\{(x,y)\mid x+y⩽1$，且 $x⩾0$，$y⩾0\}$，则平面区域 $B=\{(x+y,x-y)\mid (x,y)\in A\}$ 的面积为 ()

A. $2$　　　　　　　B. $1$　　　　　　　C. $\frac{1}{2}$　　　　　　　D. $\frac{1}{4}$

🔍【思路分析】

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1. $A$ 是顶点 $(0,0),(1,0),(0,1)$ 的三角形。
2. 顶点在变换 $u=x+y$，$v=x-y$ 下的像：$(0,0)\to (0,0)$，$(1,0)\to (1,1)$，$(0,1)\to (1,-1)$。
3. 线性变换把三角形映为三角形，求像三角形面积（底 $|1-(-1)|=2$，高 $1$）。

✅【答案】

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B

✍【详细解析】

Abstract

区域 $A$ 是由 $x=0$，$y=0$，$x+y=1$ 围成的三角形，其三个顶点为 $(0,0)$，$(1,0)$，$(0,1)$，面积为 $\frac{1}{2}$． 令 $u=x+y$，$v=x-y$，则区域 $B$ 的三个顶点为 $(0,0)$，$(1,1)$，$(1,-1)$，它是以线段 $v\in [-1,1]$（在直线 $u=1$ 上）为底、高为 $1$ 的三角形，面积 $S=\frac{1}{2}\times 2\times 1=1.$ 故选 B． （另一种看法：线性变换 $\left(\begin{array}{c}u\\ v\end{array}\right)=\left(\begin{array}{cc}1& 1\\ 1& -1\end{array}\right)\left(\begin{array}{c}x\\ y\end{array}\right)$ 的行列式绝对值为 $2$，把面积放大 $2$ 倍，故 $S=2\times \frac{1}{2}=1$。）

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

核心考点：区域变换后的面积

核心方法：顶点逐个代入变换再算像三角形

避坑指南：线性变换把三角形映为三角形：只需变换三个顶点；行列式 |det|=2 说明面积放大 2 倍，两种算法互相校验

📖【试题探源与推广】

Tip

试题探源：线性变换与平面区域

结论推广：线性变换下面积按 |det| 倍缩放

方法推广：变换区域问题先变顶点再连图形，别试图直接变换整个不等式组

🔗【关联脉络】

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知识锚点(Nodes)

• 03.01 不等式解法体系

类题演练(Links)

• 2010-上海卷文-15 单-线性规划最大值
• 2011-湖北卷文-08 单-线性规划公共点
• 2010-山东卷文-09 单-抛物线焦点弦