2010-上海卷文-15 单-线性规划最大值

本题导读

考查线性规划。可行域顶点 $(0,0),(1,1),\left(\frac{3}{2},0\right),\left(0,\frac{3}{2}\right)$，$z=x+y$ 在 $(1,1)$ 取最大值 $2$，选 C。

📌【题干】

Question

（2010年上海卷(文)） 满足线性约束条件 $\{\begin{array}{l}2x+y⩽3,\\ x+2y⩽3,\\ x⩾0,\\ y⩾0\end{array}$ 的目标函数 $z=x+y$ 的最大值是()

A. $1$　　　　　　　B. $\frac{3}{2}$　　　　　　　C. $2$　　　　　　　D. $3$

🔍【思路分析】

破题导航

1. 可行域是由四条直线围成的四边形。
2. 顶点：$(0,0)$，$\left(\frac{3}{2},0\right)$，$\left(0,\frac{3}{2}\right)$，以及 $2x+y=3$ 与 $x+2y=3$ 的交点 $(1,1)$。
3. 逐点代入 $z=x+y$：$0,\frac{3}{2},\frac{3}{2},2$。
4. 最大值 $2$。

✅【答案】

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C

✍【详细解析】

Abstract

可行域为四边形，顶点为 $(0,0),\left(\frac{3}{2},0\right),(1,1),\left(0,\frac{3}{2}\right),$ 其中 $(1,1)$ 是 $2x+y=3$ 与 $x+2y=3$ 的交点。 目标函数 $z=x+y$ 在各顶点的值为 $0,\frac{3}{2},2,\frac{3}{2}$， 故最大值为 $2$，在点 $(1,1)$ 处取得。故选 C

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

核心考点：线性规划求最值

核心方法：画可行域，目标函数在顶点处取最值

避坑指南：交点 $(1,1)$ 由 $2x+y=3$ 与 $x+2y=3$ 联立解得；$z=x+y$ 的最大值在 $(1,1)$ 取得为 $2$，不要只代坐标轴上的截距点。

📖【试题探源与推广】

Tip

试题探源：线性目标函数的最值必在可行域顶点处取得。

结论推广：可行域是凸多边形时，逐点代入法最稳妥。

方法推广：平移直线 $x+y=z$，$z$ 越大直线越高。

🔗【关联脉络】

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知识锚点 (Nodes)

• 03.01 不等式解法体系

类题演练 (Links)

• 2009-上海卷文-07 填-线性规划开区域
• 2011-上海卷文-09 填-线性规划最值
• 2012-上海卷文-10 填-绝对值约束线性规划
• 2009-天津卷文-02 单-线性规划