2011-湖北卷文-08 单-线性规划公共点

本题导读

本题考查线性规划的平面区域，以及直线与区域的公共点。

📌【题干】

Question

（2011年湖北卷(文)） 直线 $2x+y-10=0$ 与不等式组 $\{\begin{array}{l}x⩾0,\\ y⩾0,\\ x-y⩾-2,\\ 4x+3y⩽20\end{array}$ 表示的平面区域的公共点有 ()

A. $0$ 个　　　　　B. $1$ 个　　　　　C. $2$ 个　　　　　D. 无数个

🔍【思路分析】

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1. 步骤1：画区域四顶点
2. 步骤2：把直线 $2x+y=10$ 与各边界的关系逐一核对

✅【答案】

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B$1$ 个

✍【详细解析】

Abstract

区域的顶点：$O(0,0)$；$4x+3y=20$ 与 $y=0$ 交于 $(5,0)$；$4x+3y=20$ 与 $x-y=-2$ 交于 $(2,4)$；$x-y=-2$ 与 $x=0$ 交于 $(0,2)$。

直线上 $2x+y=10$。逐点检验：$O(0,0)$ 处 $2x+y=0<10$；$(2,4)$ 处 $=8<10$；$(0,2)$ 处 $=2<10$；$(5,0)$ 处 $=10$，恰在直线上。

区域内的点 $2x+y$ 的最大值由目标函数 $2x+y$ 在顶点处取得：$\max \{0,10,8,2\}=10$，仅在 $(5,0)$ 取到。

故直线 $2x+y=10$ 与区域只有 $(5,0)$ 这一个公共点，选 B。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

核心考点：可行域顶点；目标函数最值与直线位置关系

核心方法：把”直线与区域的公共点”转化为”$2x+y=10$ 与区域内点集”的关系，用顶点值判断相切于角点还是横穿区域

避坑指南：若 $2x+y$ 在区域上的最大值恰为 $10$ 且只在顶点取得，则直线与区域”触而不穿”，公共点唯一；若最大值大于 $10$，直线将截过区域产生线段（无数个公共点）——本题 $4x+3y⩽20$ 恰好把区域压在 $2x+y<10$ 一侧。

📖【试题探源与推广】

Tip

试题探源：线性规划与直线位置题与 2011-浙江卷文-03、2012-安徽卷文-08、2012-山东卷文-06 同族。

结论推广：推广：直线 $ax+by=c$ 与凸多边形区域公共点个数的判别——$c$ 介于目标函数最小、最大值之间（不含端点）时相截（无数点），恰等于最值时触及顶点（有限点），否则无公共点。

方法推广：这类”直线与区域”题：先列顶点，再把直线方程当成目标函数算顶点值，比较即可，不必精确作图。

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

• 03.01 不等式解法体系

类题演练 (Links)

• 2011-浙江卷文-03 单-线性规划最值
• 2012-安徽卷文-08 单-线性规划最值
• 2012-山东卷文-06 单-线性规划取值范围