2010-四川卷文-18 解-正方体公垂线二面角

本题导读

考查公垂线与二面角。建系后 $\overrightarrow{MO}=\left(\frac{1}{2},\frac{1}{2},0\right)$ 与 $A{A}^{\prime }$、$B{D}^{\prime }$ 的方向向量数量积均为零，得公垂线；两平面法向量夹角余弦 $\frac{1}{3}$，二面角为 $\arctan (2\sqrt{2})$。

📌【题干】

Question

（2010年四川卷(文)） 已知正方体 $ABCD-A^{\prime }{B}^{\prime }{C}^{\prime }{D}^{\prime }$ 的棱长为 1，点 $M$ 是棱 $A{A}^{\prime }$ 的中点，点 $O$ 是对角线 $B{D}^{\prime }$ 的中点.

(1)求证：$OM$ 为异面直线 $A{A}^{\prime }$ 和 $B{D}^{\prime }$ 的公垂线；

(2)求二面角 $M-B{C}^{\prime }-B^{\prime }$ 的大小.

🔍【思路分析】

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1. 以 $A$ 为原点、$AB$、$AD$、$A{A}^{\prime }$ 为 $x$、$y$、$z$ 轴建系，写出全部顶点坐标。
2. (1) 验证 $\overrightarrow{MO}$ 与 $A{A}^{\prime }$、$B{D}^{\prime }$ 的方向向量数量积均为零，再说明 $M\in A{A}^{\prime }$、$O\in B{D}^{\prime }$。
3. (2) 认准棱 $B{C}^{\prime }$，求平面 $MB{C}^{\prime }$ 与平面 $B{C}^{\prime }{B}^{\prime }$ 的法向量，由夹角余弦得二面角。

✅【答案】

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(1) 证明见解析

(2) $\arctan (2\sqrt{2})$

✍【详细解析】

Abstract

以 $A$ 为原点，$AB$、$AD$、$A{A}^{\prime }$ 所在直线分别为 $x$、$y$、$z$ 轴建立空间直角坐标系，则 $A=(0,0,0),B=(1,0,0),C=(1,1,0),D=(0,1,0),$ $A^{\prime }=(0,0,1),B^{\prime }=(1,0,1),C^{\prime }=(1,1,1),D^{\prime }=(0,1,1).$ 于是 $M=\left(0,0,\frac{1}{2}\right)$（$A{A}^{\prime }$ 的中点），$O=\left(\frac{1}{2},\frac{1}{2},\frac{1}{2}\right)$（$B{D}^{\prime }$ 的中点）. （1）$\overrightarrow{MO}=\left(\frac{1}{2},\frac{1}{2},0\right)$. $A{A}^{\prime }$ 的方向向量为 $(0,0,1)$，$\overrightarrow{MO}\cdot (0,0,1)=0$，故 $OM\perp A{A}^{\prime }$； $B{D}^{\prime }$ 的方向向量为 $D^{\prime }-B=(-1,1,1)$，$\overrightarrow{MO}\cdot (-1,1,1)=-\frac{1}{2}+\frac{1}{2}+0=0$，故 $OM\perp B{D}^{\prime }$. 又 $M\in A{A}^{\prime }$，$O\in B{D}^{\prime }$，所以 $OM$ 是异面直线 $A{A}^{\prime }$ 和 $B{D}^{\prime }$ 的公垂线. （2）平面 $B{C}^{\prime }{B}^{\prime }$ 过 $B$、$B^{\prime }$、$C^{\prime }$，其两个方向向量可取 $\overrightarrow{B{C}^{\prime }}=(0,1,1)$、$\overrightarrow{B{B}^{\prime }}=(0,0,1)$，故其法向量可取 $n_2=(1,0,0)$； 平面 $MB{C}^{\prime }$ 的两个方向向量可取 $\overrightarrow{B{C}^{\prime }}=(0,1,1)$、$\overrightarrow{BM}=(-1,0,\frac{1}{2})$，故其法向量可取 $n_1=\overrightarrow{B{C}^{\prime }}\times \overrightarrow{BM}=\left(\frac{1}{2},-1,1\right).$ 设二面角 $M-B{C}^{\prime }-B^{\prime }$ 的大小为 $\theta$，由图形位置可知 $\theta$ 为锐角， $\cos \theta =\frac{|n_1\cdot n_2|}{|n_1|\cdot |n_2|}=\frac{\frac{1}{2}}{\sqrt{\frac{1}{4}+1+1}\times 1}=\frac{\frac{1}{2}}{\frac{3}{2}}=\frac{1}{3}.$ 所以 $\tan \theta =\frac{\sqrt{1-\frac{1}{9}}}{\frac{1}{3}}=2\sqrt{2},$ 即二面角 $M-B{C}^{\prime }-B^{\prime }$ 的大小为 $\arctan (2\sqrt{2})$.

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

核心考点：异面直线公垂线与二面角

核心方法：$\overrightarrow{MO}=\left(\frac{1}{2},\frac{1}{2},0\right)$ 与两方向向量均垂直；$\cos \theta =\frac{1}{3}$，$\theta =\arctan (2\sqrt{2})$

避坑指南：公垂线须同时验证”垂直”与”相交”（$M\in A{A}^{\prime }$、$O\in B{D}^{\prime }$），只验证垂直不够；二面角 $M-B{C}^{\prime }-B^{\prime }$ 的棱是 $B{C}^{\prime }$，两半平面分别过 $M$ 与 $B^{\prime }$；法向量夹角与二面角相等还是互补要看图形位置。

📖【试题探源与推广】

Tip

试题探源：正方体中的公垂线与二面角综合是四川 2010 年的特色解答题，几何法与向量法皆可完成。

结论推广：公垂线定义：与两异面直线都垂直且都相交；二面角用法向量夹角或几何法（三垂线）。

方法推广：建系写出全部顶点坐标后，(1) 用两组垂直的向量验证；(2) 先认准棱再求两平面法向量，最后由图形定锐钝。

🔗【关联脉络】

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知识锚点 (Nodes)

• 13.06 正方体的性质

类题演练 (Links)

• 2009-四川卷文-15 填-异面直线所成角
• 2009-大纲卷I文-09 单-三棱柱异面直线
• 2011-湖北卷文-18 解-三棱柱垂直与二面角
• 2013-安徽卷文-15 填-正方体截面