2011-大纲卷文-11 单-两圆相切韦达

本题导读

本题考查圆的标准方程（与两坐标轴相切），以及韦达定理的应用。

📌【题干】

Question

（2011年大纲卷(文)） 设两圆 $C_1$、$C_2$ 都和两坐标轴相切，且都过点 $(4,1)$，则两圆心的距离 $|C_1{C}_2|=$ ()

A. $4$　　　　　　　B. $4\sqrt{2}$　　　　　　　C. $8$　　　　　　　D. $8\sqrt{2}$

🔍【思路分析】

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1. 步骤1：圆心 $(a,a)$、半径 $a$
2. 步骤2：过 $(4,1)$ 得 $a^2-10a+17=0$
3. 步骤3：圆心距 $=\sqrt{2}|a_1-a_2|$

✅【答案】

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C$|C_1{C}_2|=8$

✍【详细解析】

Abstract

与两坐标轴都相切且过第一象限内的点 $(4,1)$，圆心为 $(a,a)$、半径 $a>0$。

过 $(4,1)$：$(4-a{)}^2+(1-a{)}^2=a^2$，展开得 $a^2-10a+17=0$。

两圆心对应方程的两根：$a_1+a_2=10$，$a_1{a}_2=17$。

圆心同在直线 $y=x$ 上，$|C_1{C}_2|=\sqrt{(a_1-a_2{)}^2+(a_1-a_2{)}^2}=\sqrt{2}|a_1-a_2|$。

$(a_1-a_2{)}^2=(a_1+a_2{)}^2-4a_1{a}_2=100-68=32$，故 $|C_1{C}_2|=\sqrt{2}\times 4\sqrt{2}=8$。选 C。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

核心考点：圆与两坐标轴相切的几何特征（圆心横纵坐标绝对值相等）；韦达定理

核心方法：设圆心 $(a,a)$ 转化为方程两根：两圆条件相同则圆心坐标是同一方程的两根，用韦达定理整体求距离

避坑指南：圆心同在 $y=x$ 上，两点间距离要乘 $\sqrt{2}$：只算 $|a_1-a_2|=4\sqrt{2}$ 会误选 B——这是本题设置的核心陷阱。

📖【试题探源与推广】

Tip

试题探源：相切圆 + 韦达定理的组合与 2013-江西卷文-14（圆的方程相切）、2026-北京卷-11（直线和圆相切）同族。

结论推广：推广：两圆都与 $x$ 轴、$y$ 轴相切且过同一点时，圆心距 $=\sqrt{2}\sqrt{(a_1+a_2{)}^2-4a_1{a}_2}$；若切于两轴但异侧（圆心 $(a,-a)$），方程判别式可直接排除。

方法推广：多圆同条件题：把”过定点 + 相切”化为关于圆心参数的一元二次方程，两圆心即两根，用韦达整体求距离，避免解出根再算。

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

• 17.01 圆的方程与圆系理论

类题演练 (Links)

• 2013-江西卷文-14 填-圆的方程相切
• 2026-北京卷-11 填-直线和圆相切