2008-北京卷文-11 填-向量数量积定义

本题导读

考查数量积定义。$a\cdot b=4\times 4\times \cos 120^{\circ }=-8$。

📌【题干】

Question

（2008年北京卷(文)） 已知向量 $a$ 与 $b$ 的夹角为 $120^{\circ }$，且 $|a|=|b|=4$，那么 $a\cdot b$ 的值为$\underline{}$.

🔍【思路分析】

破题导航

1. 数量积定义 $a\cdot b=|a||b|\cos \theta$。
2. 代入 $|a|=|b|=4$、$\theta =120^{\circ }$。

✅【答案】

点击查看答案

$-8$

✍【详细解析】

Abstract

由数量积的定义， $a\cdot b=|a||b|\cos 120^{\circ }=4\times 4\times \left(-\frac{1}{2}\right)=-8.$ 故答案为 $-8$.

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

核心考点：向量数量积的定义

核心方法：$a\cdot b=4\times 4\times \cos 120^{\circ }=-8$

避坑指南：定义式 $a\cdot b=|a||b|\cos \theta$ 中 $\theta$ 是两向量夹角（$0^{\circ }⩽\theta ⩽180^{\circ }$）；$120^{\circ }$ 的余弦为 $-\frac{1}{2}$，结果为负。

📖【试题探源与推广】

Tip

试题探源：数量积定义求值是向量基础题，2009 江苏卷第 2 题、2009 大纲Ⅰ文第 8 题同型。

结论推广：$a\cdot b=|a||b|\cos \theta$；特殊角余弦：$120^{\circ }\to -\frac{1}{2}$，$135^{\circ }\to -\frac{\sqrt{2}}{2}$。

方法推广：夹角正负号决定数量积正负；钝角夹角数量积必为负，可用于快速自检。

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

• 09.03 平面向量的数量积

类题演练 (Links)

• 2009-江苏卷-02 填-向量数量积
• 2009-大纲卷I文-08 单-向量夹角
• 2009-天津卷文-15 填-向量基底数量积
• 2009-陕西卷文-08 单-向量中点数量积