2007-江西卷理-07 单-空间异面直线所成角

本题导读

本题考查正方体中的体对角线与体对角面、截面三角形的垂直和位置关系。核心在于利用“体对角线垂直于与之不相交的三个面顶点围成的正三角形截面”这一空间几何核心定性定理对各命题进行综合甄别。

📌【题干】

Question

（2007年江西卷(理)） 如图，正方体 $A{C}_1$ 的棱长为 1，过点 $A$ 作平面 $A_{1}BD$ 的垂线，垂足为点 $H$. 则以下命题中，错误的是()

A. 点 $H$ 是 $△A_{1}BD$ 的垂心　　　　B. $AH$ 垂直平面 $C{B}_1{D}_1$

C. $AH$ 的延长线经过点 $C_1$　　　D. 直线 $AH$ 和 $B{B}_1$ 所成的角为 $45^{\circ }$

🔍【思路分析】

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1. 核心模型识别：在正方体 $ABCD-A_1{B}_1{C}_1{D}_1$ 中， 连结体对角线 $A{C}_1$。

• 根据立体几何高频定理：体对角线 $A{C}_1\perp \text{平面 }{A}_{1}BD$ 且 $A{C}_1\perp \text{平面 }C{B}_1{D}_1$。
• 因为过点 $A$ 作平面 $A_{1}BD$ 的垂线为 $AH$， 故直线 $AH$ 必然与体对角线 $A{C}_1$ 完全重合。

2. 检验各选项：

• 由 $AH$ 与 $A{C}_1$ 重合知， $AH$ 延长线必过 $C_1$， 故 (C) 正确；

• 既然 $A{C}_1\perp \text{平面 }C{B}_1{D}_1$， 则 $AH\perp \text{平面 }C{B}_1{D}_1$， 故 (B) 正确；

• 因为三棱锥 $A-A_{1}BD$ 是正三棱锥， 顶点 $A$ 在底面的射影 $H$ 必然是正 $△A_{1}BD$ 的中心（也是重心、垂心、外心）， 故 (A) 正确；

• 直线 $AH$ 与 $B{B}_1$ 所成的角即为体对角线 $A{C}_1$ 与侧棱 $B{B}_1$（其方向同 $C{C}_1$）所成的角。在直角三角形 $△AC{C}_1$ 中计算夹角余弦或正切值进行核对。

✅【答案】

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D

✍【详细解析】

Abstract

解：在正方体 $ABCD-A_1{B}_1{C}_1{D}_1$ 中， 我们首先推导过点 $A$ 垂直于平面 $A_{1}BD$ 的直线特征： 连结 $AC,BD$ 相交于 $O_0$。连结 $A_1{O}_0,A{C}_1$。

• $\because BD\perp AC$ 且 $BD\perp A{A}_1$， $\therefore BD\perp \text{平面 }AC{C}_1{A}_1⟹BD\perp A{C}_1$。
• 同理可证， $A_{1}B\perp A{C}_1$。 因为 $A{C}_1$ 垂直于平面 $A_{1}BD$ 内两条相交直线 $BD$ 和 $A_{1}B$， 所以根据线面垂直判定定理， 必有 $A{C}_1\perp \text{平面 }{A}_{1}BD$。 题目已知过点 $A$ 作该平面的垂线段为 $AH$， 根据空间垂线的唯一性， 直线 $AH$ 必然与正方体的体对角线 $A{C}_1$ 严格重合。

由此逐项核对选项：

• 对于 (C)：因为直线 $AH$ 即为直线 $A{C}_1$， 故 $AH$ 的延长线必然经过点 $C_1$。命题正确。
• 对于 (B)：同理可证， 体对角线 $A{C}_1$ 同样垂直于与之平行的另一个对角面截面 $C{B}_1{D}_1$， 故 $AH\perp \text{平面 }C{B}_1{D}_1$。命题正确。
• 对于 (A)：由于 $AB=A{A}_1=AD=1$， 故三棱锥 $A-A_{1}BD$ 是正三棱锥。由正三棱锥的对称性， 顶点 $A$ 在底面上的射影 $H$ 必然是底面正三角形 $△A_{1}BD$ 的中心， 而正三角形的中心、垂心、重心完全四心合一。故点 $H$ 是 $△A_{1}BD$ 的垂心。命题正确。
• 对于 (D)：因为侧棱 $B{B}_1//C{C}_1$， 所以异面直线 $AH$ 与 $B{B}_1$ 所成的角等价于直线 $A{C}_1$ 与侧棱 $C{C}_1$ 所成的角， 即 $\angle A{C}_{1}C$。 在 Rt$△AC{C}_1$ 中， 底面正方形对角线 $AC=\sqrt{1^2+1^2}=\sqrt{2}$， 侧棱高 $C{C}_1=1$。 则 $\tan \angle A{C}_{1}C=\frac{AC}{C{C}_1}=\frac{\sqrt{2}}{1}=\sqrt{2}$。 因为 $\sqrt{2}\ne \tan 45^{\circ }=1$， 故该夹角绝对不是 $45^{\circ }$。命题错误。

本题要求选出错误的选项。

故选：D。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

1. 核心考点：正方体体对角线与特殊截面三角形的垂直链条性质、异面直线夹角坐标或三角形化。
2. 核心方法：模型结论直接调用法（正方体“体对角线垂直于截面正三角形”是高考空间几何的母题模型， 直接记住可实现秒杀）。
3. 避坑指南：

• 一定要看清题目最后问的是“错误的是”还是“正确的是”。很多同学推导出 A 正确后， 一兴奋就直接在答题卡上涂了 A， 造成极其可惜的失分。

📖【试题探源与推广】

Tip

1. 试题探源: 本题源自空间立体几何中关于正方体射影几何特性的基本定理。

2. 结论推广: 正方体中体对角线 $A{C}_1$ 被截面 $△A_{1}BD$ 和截面 $△C{B}_1{D}_1$ 刚好实现三等分。且垂足 $H$ 满足 $AH=\frac{1}{3}A{C}_1=\frac{\sqrt{3}}{3}$。

🔗【关联脉络】

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知识锚点 (Nodes)

• 13.06 正方体的性质
• 16.06 到角公式与夹角公式

类题演练 (Links)

• 2015-新课标I卷理-11 单-三视图
• 2020-新高考II卷-09 单-数据趋势分析