2007-湖北卷文-05 单-正方体截面中线面平行

本题导读

本题考查点到平面的距离，以及正方体。

📌【题干】

Question

（2007年湖北卷(文)） 在棱长为 $1$ 的正方体 $ABCD-A_1{B}_1{C}_1{D}_1$ 中，$E$、$F$ 分别为棱 $A{A}_1$、$B{B}_1$ 的中点，$G$ 为棱 $A_1{B}_1$ 上的一点，且 $A_{1}G=\lambda$（$0⩽\lambda ⩽1$），则点 $G$ 到平面 $D_{1}EF$ 的距离为 ()

A. $\sqrt{3}$　　　　　　　B. $\frac{\sqrt{2}}{2}$　　　　　　　C. $\frac{\sqrt{2}\lambda }{3}$　　　　　　　D. $\frac{\sqrt{5}}{5}$

🔍【思路分析】

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1. 以 $D$ 为原点建系：$D_1(0,0,1)$、$E(1,0,\frac{1}{2})$、$F(1,1,\frac{1}{2})$、$G(1,\lambda ,1)$。
2. 平面 $D_{1}EF$ 法向量 $\mathbf{n}=(1,0,2)$，方程 $x+2z-2=0$。
3. $G$ 到距离 $=\frac{|1+2\times 1-2|}{\sqrt{1+4}}=\frac{\sqrt{5}}{5}$（与 $\lambda$ 无关：$A_1{B}_1\parallel$ 平面 $D_{1}EF$）。

✅【答案】

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D

✍【详细解析】

Abstract

以 $D$ 为原点、$DA$、$DC$、$D{D}_1$ 为 $x,y,z$ 轴建系，则 $D_1(0,0,1)$，$E\left(1,0,\frac{1}{2}\right)$，$F\left(1,1,\frac{1}{2}\right)$，$G=(1,\lambda ,1)$（$0⩽\lambda ⩽1$）． $\overrightarrow{D_{1}E}=\left(1,0,-\frac{1}{2}\right)$，$\overrightarrow{D_{1}F}=\left(1,1,-\frac{1}{2}\right)$，法向量 $\mathbf{n}=\overrightarrow{D_{1}E}\times \overrightarrow{D_{1}F}=\left(\frac{1}{2},0,1\right)$，取 $\mathbf{n}=(1,0,2)$． 平面 $D_{1}EF$：$x+2(z-1)=0$，即 $x+2z-2=0$（代 $E,F$ 均验证成立）． 点 $G(1,\lambda ,1)$ 到该平面的距离 $d=\frac{|1+2\times 1-2|}{\sqrt{1^2+0^2+2^2}}=\frac{1}{\sqrt{5}}=\frac{\sqrt{5}}{5}.$ 距离与 $\lambda$ 无关（因直线 $A_1{B}_1\parallel$ 平面 $D_{1}EF$），选 D．

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

核心考点：正方体截面中线面平行

核心方法：找截面 $A_1{C}_{1}B$（或对应平面），用线面平行判定：线线平行推线面平行

避坑指南：正方体截面题先定截面再找平行线；线在面内不算线面平行

📖【试题探源与推广】

Tip

试题探源：正方体截面与线面平行，立几小题

结论推广：线线平行 ⟹ 线面平行（需线在面外）

方法推广：正方体题善用”过三点定截面”，平行关系找面对角线

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点(Nodes)

• 13.01 空间几何体的结构、表面积与体积
• 13.05 几何法求空间角专题

类题演练(Links)

• 2009-北京卷文-07 单-正四棱柱线面角
• 2008-上海卷文-16 解-正方体线面角
• 2011-福建卷文-15 填-正方体线面平行
• 2010-大纲卷I文-09 单-正方体线面角