2007-湖北卷理-08 单-整除问题因数分析

本题导读

本题考查等差数列前 $n$ 项和的性质。核心在于利用等差数列的对称性，将项的比值 $\frac{a_n}{b_n}$ 转化为奇数项和的比值 $\frac{A_{2n-1}}{B_{2n-1}}$，进而通过分式分离常数讨论整除性来确定正整数 $n$ 的个数。

📌【题干】

Question

（2007年湖北卷(理)） 已知两个等差数列 $\{a_n\}$ 和 $\{b_n\}$ 的前 $n$ 项和分别为 $A_n$ 和 $B_n$，且 $\frac{A_n}{B_n}=\frac{7n+45}{n+3}$，则使得 $\frac{a_n}{b_n}$ 为整数的正整数 $n$ 的个数是()

A. 2　　　　　　　B. 3　　　　　　　C. 4　　　　　　　D. 5

🔍【思路分析】

破题导航

1. 利用等差数列性质转换通项比值：

• 对于等差数列，前 $2n-1$ 项的和满足： $A_{2n-1}=\frac{(2n-1)(a_1+a_{2n-1})}{2}=(2n-1)a_n$。
• 同理， $B_{2n-1}=(2n-1)b_n$。
• 故两等差数列的第 $n$ 项之比等于前 $2n-1$ 项和之比： $\frac{a_n}{b_n}=\frac{A_{2n-1}}{B_{2n-1}}$。

2. 代入已知求和比值公式：将已知公式中的自变量 $n$ 替换为 $2n-1$。

3. 分离常数并讨论整除性：对化简后的分式进行分离常数处理，通过求分母因数的方法锁定正整数 $n$ 的个数。

✅【答案】

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D

✍【详细解析】

Abstract

解：根据等差数列的性质，前 $2n-1$ 项和等于项数乘以其中位数项： $A_{2n-1}=(2n-1)a_n,B_{2n-1}=(2n-1)b_n$ 两式相除可得： $\frac{a_n}{b_n}=\frac{A_{2n-1}}{B_{2n-1}}$

已知 $\frac{A_n}{B_n}=\frac{7n+45}{n+3}$，用 $2n-1$ 替代其中的 $n$，可得： $\frac{a_n}{b_n}=\frac{7(2n-1)+45}{(2n-1)+3}=\frac{14n-7+45}{2n+2}=\frac{14n+38}{2n+2}$ 分子分母同时约去公因数 2： $\frac{a_n}{b_n}=\frac{7n+19}{n+1}$

对该分式进行分离常数处理： $\frac{7n+19}{n+1}=\frac{7(n+1)+12}{n+1}=7+\frac{12}{n+1}$

要使 $\frac{a_n}{b_n}$ 为整数，只需分式部分 $\frac{12}{n+1}$ 为整数，即分母 $(n+1)$ 必须是 $12$ 的正约数。 12 的正约数有：1, 2, 3, 4, 6, 12。 因为 $n$ 是正整数（ $n\ge 1⟹n+1\ge 2$），所以 $n+1$ 可以取： $n+1=2,3,4,6,12$ 对应的正整数 $n$ 的值为： $n=1,2,3,5,11$ 共计有 5 个合规解。

故选：D。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

1. 核心考点：等差数列中间项特征公式 $\frac{a_n}{b_n}=\frac{A_{2n-1}}{B_{2n-1}}$、分式有理项分离常数技术。
2. 核心方法：下标变换法、约数分析法。
3. 避坑指南：

• 极易在代入时误写为 $\frac{7n+45}{n+3}$， 必须牢记求项比值时求和公式的自变量对应的是 $2n-1$。
• 讨论 12 的约数时，注意排查 $n+1=1⟹n=0$ 这个非正整数解。

📖【试题探源与推广】

Tip

试题探源：等差数列的前n项和与通项的关系、整除问题与因数分析是湖北卷(理)选择题/填空题的常考角度，同型题见下方类题演练。 结论推广：本题落点是等差数列的前n项和与通项的关系、整除问题与因数分析的核心结论，解题时先明确其定义与适用条件，再代值计算。 方法推广：采用下标中点转化法、分式分离常数法，注意先判断题型特征再选择对应方法，避免生搬硬套。

🔗【关联脉络】

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知识锚点 (Nodes)

• 19.01 等差数列全总结

类题演练 (Links)

• 2008-北京卷文-07 单-等差数列偶数项子列
• 2008-天津卷文-04 单-等差数列基本量
• 2008-陕西卷理-04 单-等差数列