2008-陕西卷理-04 单-等差数列

本题导读

本题主要考查等差数列的基本量计算与性质延伸。既可以通过首项和公差建立方程组直接求解，也可以利用等差数列项等距分段求和仍成等差数列的性质进行秒杀。

📌【题干】

Question

（2008年陕西卷(理)） 已知 $\{a_n\}$ 是等差数列，$a_1+a_2=4$，$a_7+a_8=28$，则该数列前 10 项和 $S_{10}$ 等于 ()

A. 64　　　　　　B. 100　　　　　　C. 110　　　　　　D. 120

🔍【思路分析】

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1. 第一步逻辑：方法一（基本量法）：设等差数列的首项为 $a_1$，公差为 $d$。由已知条件可直接列出关于 $a_1$ 和 $d$ 的二元一次方程组，求出基本量后代入 $S_{10}$ 公式计算。
2. 第二步逻辑：方法二（性质法）：将前 10 项每两项分为一组，即 $T_k=a_{2k-1}+a_{2k}$。根据等差数列的性质，新数列 $\{T_k\}$ 依然是等差数列。已知 $T_1=4$，$T_4=28$，求 $S_{10}=T_1+T_2+T_3+T_4+T_5$ 即可。

✅【答案】

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B

✍【详细解析】

Abstract

法一（基本量法）： 设等差数列 $\{a_n\}$ 的公差为 $d$。 由题意得：

$$\{\begin{array}{l}{a}_1+(a_1+d)=4\\ (a_1+6d)+(a_1+7d)=28\end{array}⟹\{\begin{array}{l}2a_1+d=4\\ 2a_1+13d=28\end{array}$$

两式相减得：$12d=24⟹d=2$。 代入第一式得：$2a_1+2=4⟹a_1=1$。 则前 10 项和为： $S_{10}=10a_1+\frac{10\times 9}{2}d=10\times 1+45\times 2=10+90=100$ 故选 B

法二（性质法）： 设 $T_k=a_{2k-1}+a_{2k}$，则数列 $\{T_k\}$ 仍为等差数列。 由题意知 $T_1=a_1+a_2=4$，$T_4=a_7+a_8=28$。 设 $\{T_k\}$ 的公差为 $D$，则： $T_4=T_1+3D⟹4+3D=28⟹D=8$ 而 $S_{10}=(a_1+a_2)+(a_3+a_4)+(a_5+a_6)+(a_7+a_8)+(a_9+a_{10})=T_1+T_2+T_3+T_4+T_5$。 根据等差数列对称求和性质，前 5 项和等于中间项的 5 倍： $S_{10}=5T_3=5(T_1+2D)=5\times (4+2\times 8)=5\times 20=100$ 故选 B

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

1. 核心考点：等差数列通项公式及求和公式、等差数列片段和的性质。
2. 核心方法：“知三求二”的基本量法是通法；“设而不求”的整体片段组合法是提速核心技巧。
3. 避坑指南：使用基本量法时，展开 $a_7+a_8$ 易把各项对应公差记错（如错写成 $7d+8d$），牢记 $a_n=a_1+(n-1)d$。

📖【试题探源与推广】

Tip

1. 试题探源：本题考查等差数列结构体系的内在对称性，由课本中“若 $\{a_n\}$ 为等差数列，则 $S_n,S_{2n}-S_n,S_{3n}-S_{2n}$ 成等差数列”这一经典结论退化变形而来。
2. 结论推广：若 $\{a_n\}$ 是公差为 $d$ 的等差数列，则将每 $m$ 项归为一组的片段和 $T_k={\sum }_{i=1}^m{a}_{(k-1)m+i}$ 构成的数列 $\{T_k\}$ 必为等差数列，且其新公差 $D=m^{2}d$。本题中 $m=2,d=2$，故 $D=2^2\times 2=8$，完全契合。

🔗【关联脉络】

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知识锚点 (Nodes)

• 19.01 等差数列全总结

类题演练 (Links)

• 2009-上海卷理-12 填-等差数列
• 2009-大纲卷I文-14 填-等差数列中项
• 2009-大纲卷II文-17 解-等差数列求和