2007-湖南卷文-20 解-Sn平方递推与奇偶通项

本题导读

本题考查数列递推。

📌【题干】

Question

（2007年湖南卷(文)） 设 $S_n$ 是数列 ${a}_n$（$$\begin{gathered} n \\ in \\ mathbb{N}^{\ast } \end{gathered}$$）的前 $n$ 项和，$a_1=a$，且 $S_n^2=3n^2{a}_n+S_{n-1}^2$，$$\begin{gathered} a_n \\ neq0 \end{gathered}$$，$$\begin{gathered} n=2,3,4, \\ cdots \end{gathered}$$． （1）证明：数列 ${a}_{n+2}-a_n$（$$\begin{gathered} n \\ geqslant2 \end{gathered}$$）是常数数列； （2）试找出一个奇数 $a$，使以 18 为首项、7 为公比的等比数列 ${b}_n$（$$\begin{gathered} n \\ in \\ mathbb{N}^{\ast } \end{gathered}$$）中的所有项都是数列 ${a}_n$ 中的项，并指出 $b_n$ 是数列 ${a}_n$ 中的第几项．

🔍【思路分析】

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1. (1) $S_n^2-S_{n-1}^2=3n^2{a}_n$，即 $(S_n+S_{n-1})a_n=3n^2{a}_n$，约去 $a_n$：$S_n+S_{n-1}=3n^2$（$$\begin{gathered} n \\ geqslant2 \end{gathered}$$）。
2. 相邻两式（$n$ 与 $n-1$，$$\begin{gathered} n \\ geqslant3 \end{gathered}$$）相减：$a_n+a_{n-1}=3n^2-3(n-1{)}^2=6n-3$。
3. 再隔一项相减（$n+1$ 与 $n$，$$\begin{gathered} n \\ geqslant2 \end{gathered}$$）：$a_{n+1}+a_n-(a_n+a_{n-1})=a_{n+1}-a_{n-1}=6$，即 $a_{n+2}-a_n=6$（下标平移），常数数列。
4. (2) $a$ 为奇数时：奇数项 $a_{2k+1}=6k+2a-3$ 全为奇数，偶数项 $a_{2k}=6k+6-2a$ 全为偶数，故 $$\begin{gathered} b_n=18 \\ cdot{7}^{n-1} \end{gathered}$$（偶）只能匹配偶数项。
5. $$\begin{gathered} b_n=a_{2k_n} \\ iff6k_n+6-2a=18 \\ cdot{7}^{n-1} \\ iff{k}_n=3 \\ cdot{7}^{n-1}-1+ \\ dfraca3 \end{gathered}$$，需 $$\begin{gathered} 3 \\ mida \end{gathered}$$；奇数且被 3 整除的最小正数为 $a=3$。
6. $a=3$ 时 $$\begin{gathered} k_n=3 \\ cdot{7}^{n-1} \end{gathered}$$，$$\begin{gathered} b_n=a_{6 \\ cdot{7}^{n-1}} \end{gathered}$$，即 $b_n$ 是第 $$\begin{gathered} 6 \\ cdot{7}^{n-1} \end{gathered}$$ 项。

✅【答案】

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（1）证明见解析（$a_{n+2}-a_n=6$，$$\begin{gathered} n \\ geqslant2 \end{gathered}$$）；（2）取 $a=3$，$b_n$ 是数列 ${a}_n$ 的第 $$\begin{gathered} 6 \\ cdot{7}^{n-1} \end{gathered}$$ 项

✍【详细解析】

Abstract

（1）由 $S_n^2=3n^2{a}_n+S_{n-1}^2$ 得 $S_n^2-S_{n-1}^2=3n^2{a}_n$，即 $(S_n+S_{n-1})(S_n-S_{n-1})=3n^2{a}_n$． 因 $$\begin{gathered} a_n \\ neq0 \end{gathered}$$ 且 $S_n-S_{n-1}=a_n$，约去 $a_n$ 得 $S_n+S_{n-1}=3n^2$（$$\begin{gathered} n \\ geqslant2 \end{gathered}$$）．　① 当 $$\begin{gathered} n \\ geqslant3 \end{gathered}$$ 时，$S_{n-1}+S_{n-2}=3(n-1{)}^2$．　② ①$-$②：$a_n+a_{n-1}=3n^2-3(n-1{)}^2=6n-3$（$$\begin{gathered} n \\ geqslant3 \end{gathered}$$）．　③ 将 ③ 中 $n$ 换为 $n+1$（$$\begin{gathered} n \\ geqslant2 \end{gathered}$$）：$a_{n+1}+a_n=6n+3$．　④ ④$-$③：$a_{n+1}-a_{n-1}=6$，即 $a_{n+2}-a_n=6$（$$\begin{gathered} n \\ geqslant2 \end{gathered}$$）． 故数列 ${a}_{n+2}-a_n$（$$\begin{gathered} n \\ geqslant2 \end{gathered}$$）是常数数列，常数为 6． （2）由 ①：$a_2=12-2a_1$（$n=2$ 时 $2a_1+a_2=12$）．由 ③ 得 $a_{2k}=6k+6-2a$（$$\begin{gathered} k \\ geqslant1 \end{gathered}$$），$a_{2k+1}=6k+2a-3$（$$\begin{gathered} k \\ geqslant1 \end{gathered}$$，$a_1=a$ 归入奇数项通式不覆盖）． 当 $a$ 为奇数时，奇数项 $a_{2k+1}=6k+(2a-3)$ 为奇数，偶数项 $a_{2k}=6k+(6-2a)$ 为偶数，故偶数 $$\begin{gathered} b_n=18 \\ cdot{7}^{n-1} \end{gathered}$$ 只能等于某偶数项 $a_{2k_n}$． 令 $$\begin{gathered} 6k_n+6-2a=18 \\ cdot{7}^{n-1} \end{gathered}$$，得 $$\begin{gathered} k_n=3 \\ cdot{7}^{n-1}-1+ \\ dfraca3 \end{gathered}$$，故需 $$\begin{gathered} 3 \\ mida \end{gathered}$$． 取奇数 $a=3$：$$\begin{gathered} k_n=3 \\ cdot{7}^{n-1} \end{gathered}$$ 为正整数，此时 $$\begin{gathered} b_n=a_{2k_n}=a_{6 \\ cdot{7}^{n-1}} \end{gathered}$$，即 $b_n$ 是数列 ${a}_n$ 的第 $$\begin{gathered} 6 \\ cdot{7}^{n-1} \end{gathered}$$ 项． 验证：$$\begin{gathered} a_6=6 \\ times3+6-6=18=b_1 \end{gathered}$$，$$\begin{gathered} a_{42}=6 \\ times21+6-6=126=18 \\ times7=b_2 \end{gathered}$$，成立． 故取 $a=3$，$b_n$ 是数列 ${a}_n$ 中的第 $$\begin{gathered} 6 \\ cdot{7}^{n-1} \end{gathered}$$ 项．

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

核心考点：Sn平方递推与奇偶通项

核心方法：$S_n^2-S_{n-1}^2=3n^2{a}_n$ 除以 $a_n$ 得 $S_n+S_{n-1}=3n^2$；连减两次得 $a_{n+2}-a_n=6$；奇偶分项 $a_{2k}=6k+6-2a$

避坑指南：$S_n-S_{n-1}=a_n$ 只对 $n⩾2$ 成立，约去 $a_n$ 时要先声明 $a_n\ne 0$；奇数项通式不含 $a_1$（$a_1$ 是自由参数）

📖【试题探源与推广】

Tip

试题探源：$S_n^2$ 型递推与奇偶分项数列，数列压轴题（湖南特色）

结论推广：$S_n+S_{n-1}=3n^2$ 是”和的和”方程，两次相减出隔项等差

方法推广：递推数列：先因式分解降维，再隔项相减分奇偶，最后用通式验证前几项

🔗【关联脉络】

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知识锚点(Nodes)

• 19.03 数列通项公式求法全攻略
• 19.07 一般数列的性质

类题演练(Links)

• 2014-湖南卷理-20 解-数列通项
• 2011-湖南卷文-20 解-设备折旧数列
• 2008-湖南卷文-20 解-奇偶分段数列归纳
• 2009-湖南卷文-03 单-等差数列求和