2007-辽宁卷文-11 单-充分必要条件判定

本题导读

本题考查充分必要条件，以及一元二次不等式。

📌【题干】

Question

（2007年辽宁卷(文)） 设 $p$、$q$ 是两个命题，$p$：$|x|-3>0$，$q$：$x^2-\frac{5}{6}x+\frac{1}{6}>0$，则 $p$ 是 $q$ 的 ()

A. 充分而不必要条件　　　　　　　　　B. 必要而不充分条件

C. 充分必要条件　　　　　　　　　　　D. 既不充分也不必要条件

🔍【思路分析】

破题导航

1. 解 $p$：$|x|>3$，即 $x<-3$ 或 $x>3$。
2. 解 $q$：$x^2-\frac{5}{6}x+\frac{1}{6}=\frac{1}{6}(3x-1)(2x-1)>0$。
3. 比较两解集的包含关系：小范围推大范围是充分；再举反例排除必要性。

✅【答案】

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A

✍【详细解析】

Abstract

由 $|x|-3>0$ 得 $x<-3$ 或 $x>3$，即 $p$ 的解集为 $P=(-\infty ,-3)\cup (3,+\infty )$． 又 $x^2-\frac{5}{6}x+\frac{1}{6}=\frac{1}{6}(3x-1)(2x-1),$ 故 $q$ 的解集为 $Q=\left(-\infty ,\frac{1}{3}\right)\cup \left(\frac{1}{2},+\infty \right)$． 由 $P\subset Q$（如 $-3\notin P$ 但 $-3\in Q$，是真包含），得 $p\Rightarrow q$；取 $x=0\in Q$ 而 $0\notin P$，得 $q\Rightarrow p$． 故 $p$ 是 $q$ 的充分而不必要条件，选 A．

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

核心考点：充分必要条件判定

核心方法：解出两命题的解集再比包含关系

避坑指南：充分不必要 = 解集真包含于；判必要性时举一个”满足 q 不满足 p”的具体值（如 x=0）比空谈定义有力

📖【试题探源与推广】

Tip

试题探源：教材”充分条件与必要条件”

结论推广：p 是 q 的充分不必要条件 ⟺ p 的解集是 q 的解集的真子集

方法推广：把充要条件判定统一为集合包含关系，是对这类题的通法

🔗【关联脉络】

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知识锚点(Nodes)

• 02.01 常用逻辑用语

类题演练(Links)

• 2008-重庆卷文-02 单-充分不必要条件
• 2011-湖南卷文-03 单-充分不必要条件
• 2009-安徽卷文-04 单-充分必要条件
• 2011-大纲卷文-05 单-充分不必要条件