2007-重庆卷理-11 填-复数概念

本题导读

本题考查复数的基本代数四则运算。核心在于先利用虚数单位的幂次周期性化简分母，再进行分母实数化，最终准确提取复数的虚部。

📌【题干】

Question

（2007年重庆卷(理)） 复数 $\frac{2\text{i}}{2+{\text{i}}^3}$ 的虚部为________。

🔍【思路分析】

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1. 化简分母高次幂：根据虚数单位性质 ${\text{i}}^3={\text{i}}^2\cdot \text{i}=-\text{i}$，将分母化为 $2-\text{i}$。

2. 分母实数化（除法）：分子分母同乘以分母的共轭复数 $(2+\text{i})$。

3. 提取虚部常数：将结果化为标准 $A+B\text{i}$ 形式，虚部即为 $B$。

✅【答案】

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$\frac{4}{5}$ （或 0.8）

✍【详细解析】

Abstract

解：因为虚数单位具有周期性， 满足 ${\text{i}}^2=-1$， 所以分母中的高次幂项可以化简为： ${\text{i}}^3={\text{i}}^2\times \text{i}=-1\times \text{i}=-\text{i}$ 将此代回原复数分式中， 得到： $\frac{2\text{i}}{2+{\text{i}}^3}=\frac{2\text{i}}{2-\text{i}}$

为了进行复数的除法运算， 我们将分子和分母同时乘以分母的共轭复数 $(2+\text{i})$： $\frac{2\text{i}(2+\text{i})}{(2-\text{i})(2+\text{i})}=\frac{4\text{i}+2{\text{i}}^2}{2^2-{\text{i}}^2}$ 再次代入 ${\text{i}}^2=-1$ 展开化简： $\frac{4\text{i}+2(-1)}{4-(-1)}=\frac{-2+4\text{i}}{5}=-\frac{2}{5}+\frac{4}{5}\text{i}$

根据复数的定义， 复数 $z=A+B\text{i}$ ($A,B\in \mathbf{R}$) 的虚部是指虚数单位 $\text{i}$ 前面的实数系数 $B$。 所以， 该复数的虚部为 $\frac{4}{5}$。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

1. 核心考点： ${\text{i}}^3=-\text{i}$ 的指数化简、分母乘以共轭复数的除法规范、虚部的定义。
2. 核心方法：共轭复数相乘法。
3. 避坑指南：

• 概念混淆是本题唯一的失分盲点。复数的虚部是一个实数， 提取时绝对不能带有字母 $\text{i}$。 如果错填了 $\frac{4}{5}\text{i}$ 属于概念错误， 判定为 0 分。

📖【试题探源与推广】

Tip

试题探源：虚数单位的周期性、复数的代数除法运算是重庆卷(理)选择题/填空题的常考角度，同型题见下方类题演练。 结论推广：本题落点是虚数单位的周期性、复数的代数除法运算的核心结论，解题时先明确其定义与适用条件，再代值计算。 方法推广：采用分母有理化法，注意先判断题型特征再选择对应方法，避免生搬硬套。

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

• 12.01 数系的扩充与复数

类题演练 (Links)

• 2014-江苏卷-02 填-复数运算
• 2014-上海卷理-01 填-二倍角公式
• 2014-江苏卷-13 填-周期性