2007-陕西卷文-11 单-三命题真假判断

本题导读

本题考查命题的真假判断，以及等比数列的充要条件。

📌【题干】

Question

（2007年陕西卷(文)） 给出如下三个命题： ①设 $a,b\in \mathbf{R}$，且 $ab\ne 0$，若 $\frac{b}{a}>1$，则 $\frac{a}{b}<1$； ②四个非零实数 $a,b,c,d$ 依次成等比数列的充要条件是 $ad=bc$； ③若 $f(x)={\log }_{2}x$，则 $f(|x|)$ 是偶函数． 其中正确命题的序号是 ()

A. ①②　　　　　　B. ②③　　　　　　C. ①③　　　　　　D. ①②③

🔍【思路分析】

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1. 命题①：令 $t=\frac{b}{a}>1$，则 $\frac{a}{b}=\frac{1}{t}<1$，正确。
2. 命题②：$ad=bc$ 只是等比数列的必要条件而非充分条件，反例 $1,2,3,6$。
3. 命题③：$f(|x|)={\log }_2|x|$，定义域关于原点对称且 $f(|-x|)=f(|x|)$，是偶函数。

✅【答案】

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C

✍【详细解析】

Abstract

命题①正确：令 $t=\frac{b}{a}>1$，则 $\frac{a}{b}=\frac{1}{t}<1$． 命题②不正确：$ad=bc$ 不是四个非零实数成等比数列的充分条件，例如 $a=1,b=2,c=3,d=6$，有 $ad=bc=6$，但相邻项之比 $\frac{b}{a}=2,\frac{c}{b}=\frac{3}{2},\frac{d}{c}=2$ 不全相等，不成等比数列． 命题③正确：$f(|x|)={\log }_2|x|$，定义域为 $\{x\mid x\ne 0\}$，关于原点对称，且 $f(|-x|)={\log }_2|x|=f(|x|)$，是偶函数． 故正确命题的序号是①③，选 C．

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

核心考点：三命题真假判断

核心方法：① $t=\frac{b}{a}>1\Rightarrow \frac{a}{b}=\frac{1}{t}<1$ 对；② $ad=bc$ 只是必要非充分；③ $f(|x|)={\log }_2|x|$ 偶函数

避坑指南：等比数列 $ad=bc$ 是必要条件，缺”三相邻比相等”不充分，反例 $1,2,3,6$ 最典型；$f(|x|)$ 加绝对值后定义域关于原点对称才谈偶性

📖【试题探源与推广】

Tip

试题探源：源于命题真假判断与等比数列、偶函数概念的辨析

结论推广：一般化：$ad=bc$ 是 $a,b,c,d$ 成等比数列的必要不充分条件，成等比的充要条件是三相邻比相等

方法推广：判断充要条件分别验证充分性、必要性，反例是推翻充分性的利器

🔗【关联脉络】

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知识锚点(Nodes)

• 02.01 常用逻辑用语

类题演练(Links)

• 2014-陕西卷文-08 单-四种命题
• 2013-陕西卷文-06 单-复数命题真假
• 2010-陕西卷文-06 单-充要条件判定