2014-陕西卷文-08 单-四种命题

本题导读

条件可化为 $a_{n+1}<a_n$，与结论互为充要条件。

📌【题干】

Question

（2014年陕西卷(文)） 原命题为“若 $\frac{a_n+a_{n+1}}{2}<a_n$，$n\in {\mathbf{N}}_{+}$，则 $\{a_n\}$ 为递减数列”，关于逆命题，否命题，逆否命题真假性的判断依次如下，正确的是()

A. 真，真，真　B. 假，假，真　C. 真，真，假　D. 假，假，假

🔍【思路分析】

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条件 $\frac{a_n+a_{n+1}}{2}<a_n⟺a_{n+1}<a_n$，与结论互为充要。

✅【答案】

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A

✍【详细解析】

Abstract

条件 $\frac{a_n+a_{n+1}}{2}<a_n$ 等价于 $a_{n+1}<a_n$，这正是「$\{a_n\}$ 为递减数列」的定义，所以条件与结论互为充要条件。 因此原命题为真；逆命题「若 $\{a_n\}$ 为递减数列，则 $\frac{a_n+a_{n+1}}{2}<a_n$」也为真。 又逆命题与否命题同真假、原命题与逆否命题同真假，故否命题、逆否命题均为真。 依次为真，真，真，选 A。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

1. 核心考点：四种命题及其真假关系

2. 核心方法：先化简条件，再用「原命题与逆否命题同真假」

3. 避坑指南：条件 $\frac{a_n+a_{n+1}}{2}<a_n$ 等价于 $a_{n+1}<a_n$，与结论互为充要，因此四个命题全真；选项 B「假，假，真」自相矛盾——原命题与逆否命题必定同真假。

📖【试题探源与推广】

Tip

1. 试题探源: 四种命题及其真假关系。

2. 结论推广: 原命题与逆否命题同真假，逆命题与否命题同真假。

3. 方法推广: 判断四种命题的真假，先把条件作等价变形；互为逆否的两个命题只需判断其中一个。

🔗【关联脉络】

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• 02.01 常用逻辑用语

类题演练 (Links)

• 2014-陕西卷理-08 单-四种命题
• 2014-辽宁卷文-05 单-命题真假