2013-陕西卷文-06 单-复数命题真假

本题导读

本题考查复数的分类，以及复数的代数运算。

📌【题干】

Question

（2013年陕西卷(文)） 设 $z$ 是复数，则下列命题中的假命题是()

A. 若 $z^2⩾0$，则 $z$ 是实数　　　　　　B. 若 $z^2<0$，则 $z$ 是虚数

C. 若 $z$ 是虚数，则 $z^2⩾0$　　　　　　D. 若 $z$ 是纯虚数，则 $z^2<0$

🔍【思路分析】

破题导航

1. $z=a+b\mathrm{i}$（$a,b\in \mathbf{R}$），$z^2=a^2-b^2+2ab\mathrm{i}$。
2. $z^2$ 与 $0$ 比较大小要求 $z^2\in \mathbf{R}$，即 $ab=0$。
3. 由 $ab=0$：$b=0$ 时 $z$ 为实数（A 真，$z^2=a^2⩾0$）；$a=0$ 时 $z^2=-b^2$，$z^2<0$ 需 $b\ne 0$ → $z$ 为虚数（B 真）；$z$ 纯虚数 $z=b\mathrm{i}$ → $z^2=-b^2<0$（D 真）。
4. 取 $z=\mathrm{i}$：$z$ 是虚数但 $z^2=-1<0$，C 假。

✅【答案】

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（C）

✍【详细解析】

Abstract

设 $z=a+b\mathrm{i}$（$a,b\in \mathbf{R}$），则 $z^2=(a^2-b^2)+2ab\mathrm{i}$。 注意：$z^2$ 与实数 $0$ 比较大小，前提是 $z^2$ 为实数，即 $2ab=0$。 逐项判断： A：$z^2⩾0$ 说明 $z^2$ 是实数，故 $ab=0$。若 $b\ne 0$ 则 $a=0$，此时 $z^2=-b^2<0$，与 $z^2⩾0$ 矛盾；故 $b=0$，$z$ 是实数，A 为真命题。 B：$z^2<0$ 说明 $z^2$ 是负实数，由 $ab=0$ 且 $a^2-b^2<0$，只能是 $a=0$、$b\ne 0$，即 $z$ 是虚数，B 为真命题。 D：$z$ 是纯虚数即 $z=b\mathrm{i}$（$b\ne 0$），则 $z^2=-b^2<0$，D 为真命题。 C：取 $z=\mathrm{i}$，$z$ 是虚数，但 $z^2=-1<0$，不满足 $z^2⩾0$，故 C 为假命题。 选 C。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

核心考点：复数的分类与真假命题判断

核心方法：$z$ 是虚数不能推出 $z^2⩾0$：取 $z=\mathrm{i}$，$z^2=-1<0$ → C 为假命题；A、B、D 均可由”$z^2$ 与实数比较大小 ⇒ $z^2$ 必为实数 ⇒ $\mathrm{Im}(z)=0$ 或 $\mathrm{Re}(z)=0$“判定为真

避坑指南：判断 $z^2$ 是否为实数：设 $z=a+b\mathrm{i}$，$z^2=a^2-b^2+2ab\mathrm{i}$，$z^2$ 与 $0$ 比较大小前提是 $z^2\in \mathbf{R}$，即 $ab=0$；拿 $z=\mathrm{i}$ 试 C 立刻可以否定。

📖【试题探源与推广】

Tip

试题探源：复数的分类（实虚判定）与命题真假辨析。

结论推广：$z^2=a^2-b^2+2ab\mathrm{i}$；举反例否定假命题。

方法推广：设 $z=a+b\mathrm{i}$ 展开 $z^2$ → 由可比较大小逼出 $ab=0$ → 逐个验证。

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

• 12.01 数系的扩充与复数

类题演练 (Links)

• 2013-安徽卷文-01 单-复数纯虚数
• 2013-新课标II卷文-02 单-复数除法
• 2013-浙江卷文-02 单-复数乘法