2008-上海卷理-05 填-向量

本题导读

本题考查平面向量的模长计算。通过将向量和的模长转化为平方后的数量积运算，考查公式的直接应用与多维数值运算。

📌【题干】

Question

（2008年上海卷(理)） 若向量 $\mathbf{a},\mathbf{b}$ 满足 $|\mathbf{a}|=1$，$|\mathbf{b}|=2$，且 $\mathbf{a}$ 与 $\mathbf{b}$ 的夹角为 $\frac{\pi }{3}$，则 $|\mathbf{a}+\mathbf{b}|=$ $\underline{}$.

🔍【思路分析】

破题导航

1. 先由夹角公式求出两向量的数量积 $\mathbf{a}\cdot \mathbf{b}=|\mathbf{a}||\mathbf{b}|\cos \theta$。
2. 利用向量模长与其平方的关系 $|\mathbf{a}+\mathbf{b}{|}^2=(\mathbf{a}+\mathbf{b}{)}^2$，展开进行代数运算后开方求解。

✅【答案】

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$\sqrt{7}$

✍【详细解析】

Abstract

首先计算向量 $\mathbf{a}$ 与 $\mathbf{b}$ 的数量积： $\mathbf{a}\cdot \mathbf{b}=|\mathbf{a}|\cdot |\mathbf{b}|\cdot \cos \frac{\pi }{3}=1\times 2\times \frac{1}{2}=1$ 运用平方求模法： $|\mathbf{a}+\mathbf{b}{|}^2=(\mathbf{a}+\mathbf{b}{)}^2=|\mathbf{a}{|}^2+2\mathbf{a}\cdot \mathbf{b}+|\mathbf{b}{|}^2$ 代入已知数据得： $|\mathbf{a}+\mathbf{b}{|}^2=1^2+2\times 1+2^2=1+2+4=7$ 所以对结果开方得：$|\mathbf{a}+\mathbf{b}|=\sqrt{7}$。

故答案为：$\sqrt{7}$。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

1. 核心考点：向量和的模长公式 $|\mathbf{a}+\mathbf{b}|=\sqrt{|\mathbf{a}{|}^2+2\mathbf{a}\cdot \mathbf{b}+|\mathbf{b}{|}^2}$。
2. 核心方法：平方转化法（先平方再开方）。
3. 避坑指南：展开完全平方式时，中间项 $2\mathbf{a}\cdot \mathbf{b}$ 切勿错漏掉前面的常数系数 2。

📖【试题探源与推广】

Tip

1. 试题探源: 源于教材中关于平面向量数量积应用及模长变换的标准例题。
2. 结论推广: 向量和与差的模长公式可推广为平行四边形对角线恒等式：$|\mathbf{a}+\mathbf{b}{|}^2+|\mathbf{a}-\mathbf{b}{|}^2=2(|\mathbf{a}{|}^2+|\mathbf{b}{|}^2)$。

🔗【关联脉络】

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知识锚点 (Nodes)

• 09.01 平面向量基本概念

类题演练 (Links)

• 2009-上海卷文-20 解-向量平行垂直解三角形
• 2009-北京卷理-02 单-向量
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