2008-北京卷文-03 单-充要条件与双曲线准线

本题导读

考查充要条件与双曲线准线。由方程可算出准线 $x=\pm \frac{9}{5}$（充分）；但准线为 $x=\pm \frac{9}{5}$ 的双曲线有无穷多个（不必要），选 A。

📌【题干】

Question

（2008年北京卷(文)） “双曲线的方程为 $\frac{x^2}{9}-\frac{y^2}{16}=1$“是”双曲线的准线方程为 $x=\pm \frac{9}{5}$“的()

A. 充分而不必要条件　　　　　　　　　B. 必要而不充分条件

C. 充分必要条件　　　　　　　　　　　D. 既不充分也不必要条件

🔍【思路分析】

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1. 正推：$\frac{x^2}{9}-\frac{y^2}{16}=1$ 中 $a^2=9$、$c^2=a^2+b^2=25$，准线 $x=\pm \frac{a^2}{c}=\pm \frac{9}{5}$，充分性成立。
2. 反推：准线 $x=\pm \frac{9}{5}$ 只约束 $\frac{a^2}{c}=\frac{9}{5}$，满足的双曲线（如 $\frac{x^2}{36}-\frac{y^2}{64}=1$ 等）不唯一，必要性不成立。

✅【答案】

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A

✍【详细解析】

Abstract

若双曲线方程为 $\frac{x^2}{9}-\frac{y^2}{16}=1$，则 $a^2=9$，$b^2=16$，$c^2=a^2+b^2=25$，$c=5$，准线方程为 $x=\pm \frac{a^2}{c}=\pm \frac{9}{5},$ 所以充分性成立. 反之，若双曲线的准线方程为 $x=\pm \frac{9}{5}$，只要求 $\frac{a^2}{c}=\frac{9}{5}$，这样的双曲线有无穷多个（例如 $\frac{x^2}{36}-\frac{y^2}{64}=1$：$a^2=36$，$c=10$，准线 $x=\pm \frac{36}{10}=\pm \frac{9}{5}$），其方程不必是 $\frac{x^2}{9}-\frac{y^2}{16}=1$，所以必要性不成立. 故为充分而不必要条件，选 A.

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

核心考点：充分必要条件与双曲线准线

核心方法：$\frac{a^2}{c}=\frac{9}{5}$ 不唯一确定双曲线，充分不必要

避坑指南：正推”方程→准线”是唯一计算；反推”准线→方程”只有比值 $\frac{a^2}{c}$ 约束，两个自由度剩一个，双曲线无穷多——“算得出、推不回”即充分不必要。

📖【试题探源与推广】

Tip

试题探源：圆锥曲线性质配充要条件是北京卷常客，2009 北京文第 6 题、2010 上海文第 16 题同型。

结论推广：准线 $x=\pm \frac{a^2}{c}$；$\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=1$ 与 $\frac{x^2}{{\lambda }^2{a}^2}-\frac{y^2}{{\lambda }^2{b}^2}=1$（$\lambda >0$）同准线不同方程。

方法推广：判断必要性时构造反例最有力：把方程整体放缩 $\lambda$ 倍，准线不变——一步说明不必要。

🔗【关联脉络】

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知识锚点 (Nodes)

• 02.01 常用逻辑用语
• 18.02 双曲线专题全总结

类题演练 (Links)

• 2009-北京卷文-06 单-充要条件判定
• 2009-北京卷文-19 解-双曲线准线与中点
• 2009-湖北卷文-05 单-双曲线准线
• 2009-天津卷文-03 单-充要条件判定