2010-大纲卷I文-13 填-分式不等式

本题导读

考查分式不等式。$\frac{x-2}{(x+1)(x+2)}>0$，穿根得 $(-2,-1)\cup (2,+\infty )$。

📌【题干】

Question

（2010年大纲卷I(文)） 不等式 $\frac{x-2}{x^2+3x+2}>0$ 的解集是 $\underline{}$．

🔍【思路分析】

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1. 分母分解：$x^2+3x+2=(x+1)(x+2)$。
2. 等价于 $(x-2)(x+1)(x+2)>0$（$x\ne -2,-1$）。
3. 穿根：零点 $-2,-1,2$，从右上方起穿，解集 $(-2,-1)\cup (2,+\infty )$。

✅【答案】

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$(-2,-1)\cup (2,+\infty )$

✍【详细解析】

Abstract

原不等式即 $\frac{x-2}{(x+1)(x+2)}>0⟺(x-2)(x+1)(x+2)>0(x\ne -2,x\ne -1).$ 三个零点 $-2,-1,2$ 把数轴分成四段，由穿根法， 积在 $(-2,-1)$ 和 $(2,+\infty )$ 上为正， 故解集为 $(-2,-1)\cup (2,+\infty )$。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

核心考点：分式不等式的解法

核心方法：分母因式分解后移项通分（或等价变整式），穿根定号

避坑指南：整式化时 $(x+1)(x+2)$ 直接乘过去要保号——本题用”商正即积正”等价转化，避开讨论分母符号；零点 $-2,-1$ 取不到。

📖【试题探源与推广】

Tip

试题探源：$\frac{f}{g}>0⟺fg>0$（$g\ne 0$），分式不等式全部化整式。

结论推广：穿根法：最高次系数为正时从右上方起穿，奇穿偶不穿。

方法推广：解集写法：开区间并集，分母零点永远排除。

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

• 03.01 不等式解法体系

类题演练 (Links)

• 2009-大纲卷I文-03 单-分式绝对值不等式
• 2010-新课标卷文-24 解-绝对值不等式
• 2009-天津卷文-16 填-二次不等式整数解
• 2011-北京卷文-03 单-对数不等式比较