2008-北京卷理-10 填-向量

本题导读

本题考查平面向量数量积的代数运算，重点在于熟练运用数量积的分配律进行多项式展开。

📌【题干】

Question

（2008年北京卷(理)） 已知向量 $\mathbf{a}$ 与 $\mathbf{b}$ 的夹角为 $120^{\circ }$，且 $|\mathbf{a}|=|\mathbf{b}|=4$，那么 $\mathbf{b}\cdot (2\mathbf{a}+\mathbf{b})$ 的值为 $\underline{}$.

🔍【思路分析】

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1. 利用向量数量积的分配律将待求式展开为 $2\mathbf{a}\cdot \mathbf{b}+{\mathbf{b}}^2$。
2. 分别计算向量的模平方以及数量积 $\mathbf{a}\cdot \mathbf{b}=|\mathbf{a}||\mathbf{b}|\cos \theta$，代入求值。

✅【答案】

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✍【详细解析】

Abstract

利用向量数量积的分配律展开得： $\mathbf{b}\cdot (2\mathbf{a}+\mathbf{b})=2\mathbf{a}\cdot \mathbf{b}+{\mathbf{b}}^2=2|\mathbf{a}||\mathbf{b}|\cos 120^{\circ }+|\mathbf{b}{|}^2$ 代入已知数据 $|\mathbf{a}|=|\mathbf{b}|=4$ 和 $\cos 120^{\circ }=-\frac{1}{2}$ 得： $\mathbf{b}\cdot (2\mathbf{a}+\mathbf{b})=2\times 4\times 4\times \left(-\frac{1}{2}\right)+4^2=-16+16=0$ 答案：0

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

1. 核心考点：平面向量数量积公式 $\mathbf{a}\cdot \mathbf{b}=|\mathbf{a}||\mathbf{b}|\cos ⟨\mathbf{a},\mathbf{b}⟩$。
2. 核心方法：多项式乘法在向量运算中的类比展开。
3. 避坑指南：注意特殊角的三角函数值符号，$\cos 120^{\circ }=-\frac{1}{2}$ 容易错写成正值。此外，数量积的结果是标量，最终结果为 0，不能写成零向量 $0$。

📖【试题探源与推广】

Tip

1. 试题探源: 本题是典型的平面向量基础运算题，完全对应人教A版必修4“平面向量数量积的运算律”章节的课后习题。
2. 结论推广: 当 $\mathbf{b}\cdot (2\mathbf{a}+\mathbf{b})=0$ 时，表明向量 $\mathbf{b}$ 与 $2\mathbf{a}+\mathbf{b}$ 互相垂直。这在几何上对应以 $2\mathbf{a}$ 和 $\mathbf{b}$ 为邻边的平行四边形的特定垂直状态。

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

• 09.01 平面向量基本概念

类题演练 (Links)

• 2009-上海卷文-20 解-向量平行垂直解三角形
• 2009-北京卷理-02 单-向量
• 2009-北京卷文-02 单-向量共线