2008-四川卷文-19 解-梯形组合体共面垂直

本题导读

(1)$GH\parallel AD$ 且 $GH=\frac{1}{2}AD=BC$；(2)$\overrightarrow{CE}=\frac{1}{2}\overrightarrow{DF}$ $\Rightarrow$ $CE\parallel DF$；(3)两法向量 $(2ab,0,-2ab)$ 与 $(-ab,-a^2,-ab)$ 数量积为 0.

📌【题干】

Question

（2008年四川卷(文)） 如图，平面 $ABEF\perp$ 平面 $ABCD$，四边形 $ABEF$ 与 $ABCD$ 都是直角梯形，$\angle BAD=\angle FAB=90^{\circ }$，$BC=\frac{1}{2}AD$，$BE=\frac{1}{2}AF$，$G$、$H$ 分别是 $FA$、$FD$ 的中点.

(1)证明：四边形 $BCHG$ 是平行四边形；

(2)$C$，$D$，$E$，$F$ 四点是否共面？为什么？

(3)设 $AB=BE$．证明：平面 $ADE\perp$ 平面 $CDE$.

🔍【思路分析】

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(1)三角形中位线给 $GH\parallel AD$ 且减半，与 $BC$ 的条件对上. (2)向量加法一路拆到 $CE=\frac{1}{2}DF$，平行即共面. (3)面面垂直给 $AF\perp$ 底面，以 $A$ 为原点建系；$AB=BE$ 即 $a=c$，两平面的法向量叉乘后作点积，恰好为 0.

✅【答案】

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(1)证明见解析；(2)共面，理由见解析；(3)证明见解析

✍【详细解析】

Abstract

(1)在三角形 $FAD$ 中，$G$，$H$ 分别是 $FA$，$FD$ 的中点，所以 $GH\parallel AD$，且 $GH=\frac{1}{2}AD$．由题设 $BC\parallel AD$，且 $BC=\frac{1}{2}AD$，从而 $GH\parallel BC$，$GH=BC$．因此四边形 $BCHG$ 是平行四边形. (2)由题设 $BC=\frac{1}{2}AD$，$BE=\frac{1}{2}AF$，有 $\overrightarrow{CE}=\overrightarrow{CB}+\overrightarrow{BE}=\frac{1}{2}(\overrightarrow{AF}-\overrightarrow{AD})=\frac{1}{2}\overrightarrow{DF}$．因此 $CE\parallel DF$，所以直线 $CE$ 与直线 $DF$ 共面，故点 $C$，$D$，$E$，$F$ 共面. (3)由平面 $ABEF\perp$ 平面 $ABCD$，且 $AF\perp AB$，得 $AF\perp$ 平面 $ABCD$．以 $A$ 为原点，分别以 $AB$、平面 $ABCD$ 内垂直于 $AB$ 的方向、$AF$ 为三个坐标轴正方向，设 $AB=a$，$BC=b$，$BE=c$，则可取 $A(0,0,0)$，$B(a,0,0)$，$C(a,b,0)$，$D(0,2b,0)$，$E(a,0,c)$．由 $AB=BE$ 得 $a=c$.于是平面 $ADE$ 的一个法向量为 $\overrightarrow{AD}\times \overrightarrow{AE}=(0,2b,0)\times (a,0,a)=(2ab,0,-2ab)$，平面 $CDE$ 的一个法向量为 $\overrightarrow{DC}\times \overrightarrow{DE}=(a,-b,0)\times (a,-2b,a)=(-ab,-a^2,-ab)$．两法向量的数量积为 $-2a^2{b}^2+2a^2{b}^2=0$，所以平面 $ADE\perp$ 平面 $CDE$.

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

核心考点：共面问题与面面垂直

核心方法：中位线定平行四边形；向量拆分证共线即共面；建系算法向量点积

避坑指南：$\overrightarrow{CE}=\frac{1}{2}\overrightarrow{DF}$ 说明 $CE\parallel DF$ 且共面，两条平行线确定平面；建系时 $AB=BE$ 即 $a=c$ 别漏用，否则法向量点积消不掉

📖【试题探源与推广】

Tip

试题探源：平面图形组合的共面与垂直，立体几何解答题经典架构

结论推广：向量 $\overrightarrow{CE}=\lambda \overrightarrow{DF}$ 是证共面的最短路径

方法推广：三问分别用”平面几何中位线 / 向量拆分 / 建系法向量”，各问各的法

🔗【关联脉络】

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知识锚点 (Nodes)

• 13.03 空间点、线、面位置关系
• 13.04 立体几何高阶：定理、模型与性质

类题演练 (Links)

• 2013-四川卷理-19 解-线面平行
• 2012-四川卷理-19 解-线面角与二面角
• 2011-四川卷理-19