2022-乙卷理-18 解-立几综合

本题导读

本题考查面面垂直的判定。核心在于几何证明法、辅助平面法（面面垂直性质）的灵活运用。

📌【题干】

Question

（2022年乙卷理）如图，四面体 $A B C D$ 中， $A D ⊥ C D$ ， $A D = C D$ ， $∠ A D B = ∠ B D C$ ， $E$ 为 $A C$ 的中点．

（1）证明：平面 $B E D ⊥$ 平面 $A C D$ ；

（2）设 $A B = B D = 2$ ， $∠ A C B = 6 0^{\circ}$ ，点 $F$ 在 $B D$ 上，当 $△ A F C$ 的面积最小时，求 $C F$ 与平面 $A B D$ 所成的角的正弦值．

🔍【思路分析】

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第一问（面面垂直证明）：

证线线垂直：由 $A D = C D$ 且 $E$ 为中点易得 $D E ⊥ A C$ 。利用 SAS 证明 $△ A B D ≅ △ C B D$ ，得出 $A B = B C$ ，进而由等腰三角形性质得 $B E ⊥ A C$ 。

证线面垂直：由 $A C$ 垂直于平面 $B E D$ 内的两条相交直线，得出 $A C ⊥$ 平面 $B E D$ 。

证面面垂直：根据面面垂直判定定理（平面 $A C D$ 包含垂线 $A C$ ），证得结论。

第二问（线面角计算）：

确定 $F$ 的位置：由于 $A C ⊥$ 平面 $B E D$ ，则 $A C ⊥ E F$ 。 $△ A F C$ 的面积 $S = \frac{1}{2} A C \cdot E F$ 。要使面积最小，需 $E F$ 最小，即 $E F ⊥ B D$ 。

确定线面角：由 $A C ⊥$ 平面 $B E D$ 可推导 $A C ⊥ B D$ ，结合 $E F ⊥ B D$ 可证 $B D ⊥$ 平面 $A F C$ 。进而推导平面 $A B D ⊥$ 平面 $A F C$ ，交线为 $A F$ 。因此， $C F$ 与平面 $A B D$ 的夹角即为 $C F$ 与 $A F$ 的夹角（或其补角）。

计算求解：在 $△ A F C$ 中，利用勾股定理和余弦定理求解 $sin ∠ A F C$ 。

✅【答案】

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(1) 证明见解析

(2) $\frac{4 3}{7}$

✍【详细解析】

Abstract

（1）证明：平面 $B E D ⊥$ 平面 $A C D$

证明 $D E ⊥ A C$ ：

在 $△ A C D$ 中，因为 $A D = C D$ ，且 $E$ 为 $A C$ 的中点，

根据等腰三角形“三线合一”性质，得 $D E ⊥ A C$ ．

证明 $B E ⊥ A C$ ：

在 $△ A B D$ 和 $△ C B D$ 中：

$⎩ ⎨ ⎧ A D = C D ∠ A D B = ∠ B D C B D = B D$

所以 $△ A B D ≅ △ C B D$ (SAS)．

由此可得 $A B = B C$ ．

在 $△ A B C$ 中，因为 $A B = B C$ 且 $E$ 为 $A C$ 中点，

所以 $B E ⊥ A C$ ．

证明线面垂直与面面垂直：

因为 $D E ⊥ A C$ ， $B E ⊥ A C$ ，且 $D E \cap B E = E$ ， $D E, B E \subset$ 平面 $B E D$ ，

所以 $A C ⊥$ 平面 $B E D$ ．

又因为 $A C \subset$ 平面 $A C D$ ，

根据面面垂直的判定定理，得平面 $B E D ⊥$ 平面 $A C D$ ．

（2）求 $C F$ 与平面 $A B D$ 所成的角的正弦值

1. 确定面积最小时点 $F$ 的位置：

由（1）知 $A C ⊥$ 平面 $B E D$ ，而 $E F \subset$ 平面 $B E D$ ，所以 $A C ⊥ E F$ ．

$△ A F C$ 的面积 $S = \frac{1}{2} A C \cdot E F$ ．

因为 $A C$ 为定值（由几何参数确定），要使面积最小，只需 $E F$ 最小．

点 $E$ 为定点，点 $F$ 在直线 $B D$ 上，故当 $E F ⊥ B D$ 时， $E F$ 长度最小．

此时 $△ A F C$ 面积最小，故设定 $E F ⊥ B D$ ．

2. 证明平面 $A B D ⊥$ 平面 $A F C$ ：

由（1）知 $A C ⊥$ 平面 $B E D$ ，且 $B D \subset$ 平面 $B E D$ ，所以 $A C ⊥ B D$ ．

又因为 $E F ⊥ B D$ ，且 $A C \cap E F = E$ ，

所以 $B D ⊥$ 平面 $A F C$ ．

因为 $B D \subset$ 平面 $A B D$ ，

所以平面 $A B D ⊥$ 平面 $A F C$ ．

两平面的交线为 $A F$ ．

3. 确定线面角：

由于平面 $A B D ⊥$ 平面 $A F C$ ，直线 $C F$ 在平面 $A F C$ 内．

过 $C$ 作 $C M ⊥ A F$ 于 $M$ ，则 $C M ⊥$ 平面 $A B D$ ．

故直线 $C F$ 与平面 $A B D$ 所成的角即为直线 $C F$ 与交线 $A F$ 的夹角．

记该角为 $θ$ ，则 $sin θ = sin ∠ A F C$ （若 $∠ A F C$ 为钝角，则为补角的正弦，值相同）．

4. 计算几何量：

确定 $△ A B C$ 形状：

由（1）知 $A B = B C$ ．已知 $A B = 2$ ， $∠ A C B = 6 0^{\circ}$ ．

故 $△ A B C$ 为等边三角形，边长 $A C = A B = 2$ ．

因为 $E$ 为 $A C$ 中点，所以 $A E = E C = 1$ ， $B E = 3$ ．

确定 $△ A C D$ 形状：

已知 $A D ⊥ C D, A D = C D$ ， $△ A C D$ 为等腰直角三角形．

斜边 $A C = 2$ ，则直角边 $A D = C D = 2$ ．

斜边中线 $D E = \frac{1}{2} A C = 1$ ．

分析 $△ B E D$ ：

$B E = 3, D E = 1, B D = 2$ ．

满足 $B E^{2} + D E^{2} = 3 + 1 = 4 = B D^{2}$ ．

所以 $△ B E D$ 是以 $E$ 为直角顶点的直角三角形，即 $B E ⊥ D E$ ．

计算 $E F, A F, C F$ ：

在 $Rt △ B E D$ 中， $E F$ 是斜边 $B D$ 上的高：

$E F = \frac{B E \cdot D E}{B D} = \frac{3 \times 1}{2} = \frac{3}{2}$ ．

在 $Rt △ A E F$ （由 $A C ⊥ E F$ ）中：

$A F = A E^{2} + E F^{2} = 1^{2} + (\frac{3}{2})^{2} = 1 + \frac{3}{4} = \frac{7}{2}$ ．

同理，在 $Rt △ C E F$ 中：

$C F = C E^{2} + E F^{2} = 1^{2} + (\frac{3}{2})^{2} = \frac{7}{2}$ ．

5. 求解正弦值：

在 $△ A C F$ 中， $A C = 2, A F = C F = \frac{7}{2}$ ．

由余弦定理：

$cos ∠ A F C = \frac{A F ^{2} + C F ^{2} - A C ^{2}}{2 A F \cdot C F} = \frac{\frac{7}{4} + \frac{7}{4} - 4}{2 \times \frac{7}{4}} = \frac{\frac{7}{2} - 4}{\frac{7}{2}} = \frac{- \frac{1}{2}}{\frac{7}{2}} = - \frac{1}{7}$ ．

$sin ∠ A F C = 1 - (- \frac{1}{7})^{2} = \frac{48}{49} = \frac{4 3}{7}$ ．

由于线面角范围为 $[0, \frac{π}{2}]$ ，取正弦值恒为正．

结论：

$C F$ 与平面 $A B D$ 所成角的正弦值为 $\frac{4 3}{7}$ ．

【解法二】连接 $E F$ ，由（1）知， $A C ⊥$ 平面 $B E D$ ，因为 $E F \subset$ 平面 $B E D$ ，所以 $A C ⊥ E F$ ，所以 $S_{△ A F C} = \frac{1}{2} A C \cdot E F$ ，

当 $E F ⊥ B D$ 时， $E F$ 最小，即 $△ A F C$ 的面积最小.

因为 $△ A B D △ C B D$ ，所以 $C B = A B = 2$ ，

又因为 $∠ A C B = 60^{\circ}$ ，所以 $△ A B C$ 是等边三角形，

因为_E_为 $A C$ 的中点，所以 $A E = E C = 1$ ， $B E = 3$ ，

因为 $A D ⊥ C D$ ，所以 $D E = \frac{1}{2} A C = 1$ ,

在 $△ D E B$ 中， $D E^{2} + B E^{2} = B D^{2}$ ，

所以 $B E ⊥ D E$ .

以 $E$ 为坐标原点建立如图所示的空间直角坐标系 $E - x y z$ ，

则 $A (1, 0, 0), B (0, 3, 0), D (0, 0, 1)$ ，

所以 $A D = (- 1, 0, 1), A B = (- 1, 3, 0)$ ，

设平面 $A B D$ 的一个法向量为 $n = (x, y, z)$ ，

则 $\left\{ \begin{array}{*{35}{l}}\overset{\scriptscriptstyle\rightharpoonup}{n}\cdot =-x+z=0 \\\overset{\scriptscriptstyle\rightharpoonup}{n}\cdot =-x+\sqrt{3}y=0 \\\end{array} \right.$ ，

取 $y = 3$ ，则 $n = (3, 3, 3)$ ，

又因为 $C (- 1, 0, 0), F (0, \frac{3}{4}, \frac{3}{4})$ ，

所以 $C F = (1, \frac{3}{4}, \frac{3}{4})$ ，

所以 $cos ⟨ n, C F ⟩ = \frac{n \cdot C F}{∣ n ∣ C F} = \frac{6}{21 \times \frac{7}{4}} = \frac{4 3}{7}$ ，

设 $C F$ 与平面 $A B D$ 所成的角的正弦值为 $θ (0 \leq θ \leq \frac{π}{2})$ ，

所以 $sin θ = cos ⟨ n, C F ⟩ = \frac{4 3}{7}$ ，

所以 $C F$ 与平面 $A B D$ 所成的角的正弦值为 $\frac{4 3}{7}$ .

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

核心技巧：

“面面垂直”转化“线面角”：当发现包含直线的平面与目标平面垂直时（如本题平面 $A F C ⊥$ 平面 $A B D$ ），线面角直接转化为线与交线（ $A F$ ）的夹角。这是一个非常高级且省力的视角。

动点最值的几何意义：三角形面积 $S = \frac{1}{2} 底 \times 高$ ，当底固定时，面积最小等价于高最短。在立体几何中，这通常对应“垂线段最短”。

避坑指南：

角的判定：通过余弦定理算出 $cos ∠ A F C = - 1/7$ ，说明 $∠ A F C$ 是钝角。虽然正弦值相同，但在描述几何位置时需清楚， $C$ 在平面 $A B D$ 上的体现点 $M$ 落在 $A F$ 的延长线上，而非线段上。

📖【试题探源与推广】

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试题探源：待补

结论推广：待补

🔗【关联脉络】

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知识锚点 (Nodes)

13.03 空间点、线、面位置关系

13.05 几何法求空间角专题

类题演练 (Links)

2013-浙江卷理-20 解-线面平行

1997-全国卷理-23 解-正方体中的垂直、角与体积

2008-四川卷文-19 解-梯形组合体共面垂直

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