2008-四川卷理-15 填-线面位置

本题导读

本题考查正四棱柱的几何性质、线面角的三角函数应用，以及相关运算的灵活运用。

📌【题干】

Question

（2008年四川卷(理)） 已知正四棱柱的对角线的长为 $\sqrt{6}$, 且对角线与底面所成角的余弦值为 $\frac{\sqrt{3}}{3}$, 则该正四棱柱的体积等于 $\underline{}$.

🔍【思路分析】

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1. 引入正四棱柱模型，明确对角线与其在底面投影组成的直角三角形。
2. 利用线面角的余弦值和对角线长，解直角三角形求出底面正方形的对角线长和四棱柱的高。
3. 由底面对角线长求出底面积，代入柱体体积公式 $V=S\cdot h$。

✅【答案】

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$2$

✍【详细解析】

Abstract

设正四棱柱为 $ABCD-A_1{B}_1{C}_1{D}_1$，连结 $B{D}_1$ 为体对角线，则 $B{D}_1=\sqrt{6}$。 $D_1$ 在底面 $ABCD$ 的投影为 $D$，故对角线 $B{D}_1$ 与底面所成的角为 $\angle D_{1}BD$。 在 $\text{Rt}\Delta D_{1}DB$ 中： $BD=B{D}_1\cdot \cos \angle D_{1}BD=\sqrt{6}\times \frac{\sqrt{3}}{3}=\sqrt{2}$ $D_{1}D=\sqrt{B{D}_1^2-B{D}^2}=\sqrt{6-2}=2$ 即正四棱柱的高 $h=D_{1}D=2$。 底面 $ABCD$ 为正方形，其对角线 $BD=\sqrt{2}$。 设底面边长为 $a$，则 $\sqrt{2}a=\sqrt{2}⟹a=1$。 所以底面积 $S=a^2=1^2=1$。 该正四棱柱的体积为： $V=S\cdot h=1\times 2=2$

故答案为：$2$。#### 💡【考点归纳与避坑指南】 [!danger]

1. 核心考点：线面角的定义及直角三角形求解；正四棱柱体对角线公式 $l=\sqrt{2a^2+h^2}$。
2. 核心方法：射影转化法。
3. 避坑指南：注意“正四棱柱”的底面是正方形，不要错把底面中心到顶点的距离当成对角线。

📖【试题探源与推广】

Tip

1. 试题探源：源于立体几何初步中关于柱体体积与空间性质的基础题目。
2. 结论推广：若正四棱柱体对角线为 $L$，与底面成角为 $\theta$，则体积公式可统一表示为 $V=L^3\cdot \sin \theta \cdot {\cos }^2\theta$。

🔗【关联脉络】

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知识锚点 (Nodes)

• 05.01 函数的概念

类题演练 (Links)

• 2012-湖南卷文-19 解-四棱锥体积与线面角
• 2013-四川卷文-19 解-三棱柱线面与体积
• 2013-新课标I卷文-19 解-线面垂直与棱柱体积