2008-大纲卷I文-06 单-三角奇偶周期

本题导读

考查三角化简与性质。展开得 $(\sin x-\cos x{)}^2-1=-\sin 2x$，是奇函数、最小正周期 $\pi$，选 D。

📌【题干】

Question

（2008年大纲卷I(文)） $y=(\sin x-\cos x{)}^2-1$ 是()

A. 最小正周期为 $2\pi$ 的偶函数　　　　B. 最小正周期为 $2\pi$ 的奇函数

C. 最小正周期为 $\pi$ 的偶函数　　　　　D. 最小正周期为 $\pi$ 的奇函数

🔍【思路分析】

破题导航

1. 展开平方项：${\sin }^{2}x-2\sin x\cos x+{\cos }^{2}x-1$。
2. 用 ${\sin }^{2}x+{\cos }^{2}x=1$ 与 $2\sin x\cos x=\sin 2x$ 化简。
3. 由 $\sin 2x$ 判断奇偶性与周期。

✅【答案】

点击查看答案

D

✍【详细解析】

Abstract

展开得 $y={\sin }^{2}x-2\sin x\cos x+{\cos }^{2}x-1=1-\sin 2x-1=-\sin 2x.$ $y=-\sin 2x$ 是奇函数（$\sin$ 为奇函数），且最小正周期 $T=\frac{2\pi }{2}=\pi$. 故选 D.

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

核心考点：三角函数化简与奇偶性、周期

核心方法：$(\sin x-\cos x{)}^2-1=-\sin 2x$：奇函数，$T=\pi$

避坑指南：展开平方后 ${\sin }^2+{\cos }^2=1$ 消常数，$2\sin x\cos x=\sin 2x$ 收拢；$-\sin 2x$ 仍是奇函数，负号不影响奇偶性；周期看 $\omega =2$。

📖【试题探源与推广】

Tip

试题探源：“化简 $\to$ 奇偶 $\to$ 周期”三步是三角小题主线，2009 山东文第 12 题、2010 陕西文第 3 题同型。

结论推广：$(a-b{)}^2=a^2-2ab+b^2$；$\sin 2x=2\sin x\cos x$；$T=\frac{2\pi }{|\omega |}$。

方法推广：先展开再收拢，别在半成品上判断性质；负号不改变奇偶性（奇函数取负仍奇），但会改变单调性。

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

• 05.02 函数的四大性质

类题演练 (Links)

• 2009-山东卷文-12 单-奇函数周期
• 2009-广东卷文-09 单-降幂奇偶周期
• 2010-陕西卷文-03 单-二倍角奇偶周期
• 2011-大纲卷文-10 单-奇函数周期求值