2010-陕西卷文-03 单-二倍角奇偶周期

本题导读

考查二倍角与函数性质。$f(x)=2\sin x\cos x=\sin 2x$，是奇函数且最小正周期为 $\pi$，选 C。

📌【题干】

Question

（2010年陕西卷(文)） 函数 $f(x)=2\sin x\cos x$ 是()

A. 最小正周期为 $2\pi$ 的奇函数　　　　B. 最小正周期为 $2\pi$ 的偶函数

C. 最小正周期为 $\pi$ 的奇函数　　　　　D. 最小正周期为 $\pi$ 的偶函数

🔍【思路分析】

破题导航

1. 逆用二倍角公式：$2\sin x\cos x=\sin 2x$。
2. $\sin 2x$ 是奇函数；由 $T=\frac{2\pi }{\omega }$（$\omega =2$）得最小正周期为 $\pi$。

✅【答案】

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C

✍【详细解析】

Abstract

由二倍角公式得 $f(x)=2\sin x\cos x=\sin 2x.$ 奇偶性：$\sin (-2x)=-\sin 2x$，故 $f(-x)=-f(x)$，$f(x)$ 为奇函数. 周期：$T=\frac{2\pi }{2}=\pi$. 故 $f(x)$ 是最小正周期为 $\pi$ 的奇函数. 故选 C.

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

核心考点：二倍角公式与函数奇偶性、周期

核心方法：$2\sin x\cos x=\sin 2x$：奇函数，$T=\pi$

避坑指南：见到”二倍角”先逆用公式化成 $\sin 2x$ 再谈性质；周期用 $T=\frac{2\pi }{\omega }$，$\omega =2$ 时为 $\pi$ 而非 $2\pi$；奇偶性看 $f(-x)$ 与 $f(x)$ 的关系，别凭图象直觉。

📖【试题探源与推广】

Tip

试题探源：“化简后再研究性质”是三角小题的主线，各地卷常以 $A\sin +B\cos$ 或二倍角形式出现。

结论推广：$\sin 2x=2\sin x\cos x$；$y=A\sin (\omega x+\phi )$ 的周期 $T=\frac{2\pi }{|\omega |}$；$\sin$ 奇、$\cos$ 偶。

方法推广：三角函数四选一题按”化简 $\to$ 奇偶 $\to$ 周期”三步走，化简到位后答案往往一眼可见。

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

• 05.02 函数的四大性质

类题演练 (Links)

• 2009-山东卷文-12 单-奇函数周期
• 2011-大纲卷文-10 单-奇函数周期求值
• 2011-新课标卷文-07 单-二倍角余弦
• 2009-江西卷文-05 单-偶函数与周期