2008-大纲卷I文-07 单-等比数列基本量

本题导读

考查等比数列基本量。$(a_2+a_3)÷(a_1+a_2)=q=2$，$a_1=1$，$a_7=64$，选 A。

📌【题干】

Question

（2008年大纲卷I(文)） 已知等比数列 $\{a_n\}$ 满足 $a_1+a_2=3$，$a_2+a_3=6$，则 $a_7=$()

A. $64$　　　　　　B. $81$　　　　　　C. $128$　　　　　　D. $243$

🔍【思路分析】

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1. 把两条件都用 $a_1$、$q$ 表示：$a_1(1+q)=3$，$a_{1}q(1+q)=6$。
2. 两式相除得 $q=2$。
3. 回代求 $a_1$，再算 $a_7=a_1{q}^6$。

✅【答案】

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A

✍【详细解析】

Abstract

设公比为 $q$，则 $a_2=a_{1}q$，$a_3=a_1{q}^2$. $\{\begin{array}{l}{a}_1(1+q)=3,\\ a_{1}q(1+q)=6.\end{array}$ 两式相除得 $q=2$；代回第一式得 $a_1(1+2)=3$，$a_1=1$. 故 $a_7=a_1{q}^6=1\times 2^6=64.$ 故选 A.

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

核心考点：等比数列基本量

核心方法：$\frac{a_2+a_3}{a_1+a_2}=q=2$，$a_1=1$，$a_7=64$

避坑指南：两个”相邻项和”条件相除可直接消去 $a_1$ 和公因式 $(1+q)$ 得 $q$；回代求 $a_1$ 后用 $a_n=a_1{q}^{n-1}$。

📖【试题探源与推广】

Tip

试题探源：等比数列基本量是数列小题的基本功，2009 广东文第 5 题、2010 辽宁文第 3 题同型。

结论推广：$a_n=a_1{q}^{n-1}$；$a_k+a_{k+1}=a_k(1+q)$ 结构相同是相除消元的关键。

方法推广：“条件相除”是等比数列消元利器；注意相除要求两边非零（等比数列各项非零，天然满足）。

🔗【关联脉络】

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知识锚点 (Nodes)

• 19.02 等比数列全总结

类题演练 (Links)

• 2009-广东卷文-05 单-等比基本量
• 2010-广东卷文-04 单-等比数列基本量
• 2010-辽宁卷文-03 单-等比数列公比
• 2011-广东卷文-11 填-等比数列公比