2010-辽宁卷文-03 单-等比数列公比

本题导读

考查等比数列基本量。两式相减得 $3 a_{3} = a_{4} - a_{3}$ ，即 $a_{4} = 4 a_{3}$ ， $q = 4$ ，选 B。

📌【题干】

Question

（2010年辽宁卷(文)）设 $S_{n}$ 为等比数列 ${a_{n}}$ 的前 $n$ 项和，已知 $3 S_{3} = a_{4} - 2$ ， $3 S_{2} = a_{3} - 2$ ，则公比 $q =$ ()

A. $3$ 　　　　　　　B. $4$ 　　　　　　　C. $5$ 　　　　　　　D. $6$

🔍【思路分析】

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$3 S_{3} - 3 S_{2} = 3 a_{3}$ 。

$(a_{4} - 2) - (a_{3} - 2) = a_{4} - a_{3}$ 。

$3 a_{3} = a_{4} - a_{3}$ ，即 $a_{4} = 4 a_{3}$ 。

$q = \frac{a _{4}}{a _{3}} = 4$ 。

✅【答案】

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B

✍【详细解析】

Abstract

两已知式相减： $3 S_{3} - 3 S_{2} = (a_{4} - 2) - (a_{3} - 2),$ 左边 $= 3 a_{3}$ ，右边 $= a_{4} - a_{3}$ ，故 $3 a_{3} = a_{4} - a_{3} \Rightarrow a_{4} = 4 a_{3},$ 公比 $q = \frac{a _{4}}{a _{3}} = 4$ 。故选 B

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

核心考点：等比数列基本量

核心方法：两式相减消常数， $S_{3} - S_{2} = a_{3}$

避坑指南：两个等式右边的 $- 2$ 是同一个常数，相减恰好消去； $q = \frac{a _{4}}{a _{3}}$ 不要写成 $\frac{a _{3}}{a _{4}}$ 。

📖【试题探源与推广】

Tip

试题探源： $S_{n}$ 与 $a_{n}$ 的桥梁： $a_{n} = S_{n} - S_{n - 1}$ （ $n ⩾ 2$ ）。

结论推广：等比数列中连续三项的关系 $a_{n + 1} = q a_{n}$ 是求公比的最短路径。

方法推广：此类”双条件”题九成用相减或相除处理。

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