2010-广东卷文-04 单-等比数列基本量

本题导读

考查等比数列。设首项 $a_1$、公比 $q$，由 $a_2{a}_3=a_1^2{q}^3=2a_1$ 得 $a_1{q}^3=2$；等差中项 $a_4+2a_7=2\times \frac{5}{4}$，即 $a_1{q}^3+2a_1{q}^6=\frac{5}{2}$，联立得 $q=\frac{1}{2}$、$a_1=16$，$S_5=31$，选 C。

📌【题干】

Question

（2010年广东卷(文)） 已知数列 $\{a_n\}$ 为等比数列，$S_n$ 是它的前 $n$ 项和，若 $a_2\cdot a_3=2a_1$，且 $a_4$ 与 $2a_7$ 的等差中项为 $\frac{5}{4}$，则 $S_5=$()

A. $35$　　　　　　　B. $33$　　　　　　　C. $31$　　　　　　　D. $29$

🔍【思路分析】

破题导航

1. 设 $a_n=a_1{q}^{n-1}$，把条件都写成 $a_1,q$ 的方程。
2. 由 $a_2{a}_3=2a_1$ 得 $a_1{q}^3=2$；等差中项条件得 $a_1{q}^3+2a_1{q}^6=\frac{5}{2}$。
3. 联立解 $q$、$a_1$，代入求和公式 $S_5=a_1\frac{1-q^5}{1-q}$。

✅【答案】

点击查看答案

C

✍【详细解析】

Abstract

设等比数列 $\{a_n\}$ 的首项为 $a_1$，公比为 $q$. 由 $a_2{a}_3=2a_1$，得 $(a_{1}q)(a_1{q}^2)=2a_1$，即 $a_1{q}^3=2$.① 由 $a_4$ 与 $2a_7$ 的等差中项为 $\frac{5}{4}$，得 $a_4+2a_7=2\times \frac{5}{4}=\frac{5}{2},即a_1{q}^3+2a_1{q}^6=\frac{5}{2}.$ 把①代入：$2+2a_1{q}^6=\frac{5}{2}$，故 $a_1{q}^6=\frac{1}{4}$.② ②$÷$①得 $q^3=\frac{1}{8}$，即 $q=\frac{1}{2}$；代回①得 $a_1=16$. 于是 $S_5=a_1\cdot \frac{1-q^5}{1-q}=16\cdot \frac{1-\frac{1}{32}}{\frac{1}{2}}=16\cdot \frac{31}{16}=31.$ 故选 C.

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

核心考点：等比数列基本量的方程求解

核心方法：$a_2{a}_3=a_1^2{q}^3=2a_1$ 得 $a_1{q}^3=2$；等差中项得 $a_1{q}^3+2a_1{q}^6=\frac{5}{2}$ 联立求 $q,a_1$

避坑指南：等差中项 $x,y$ 的中项为 $\frac{x+y}{2}$，别漏”2 倍”；等比数列公比可能为负，但本题 $q=\frac{1}{2}$ 为正；求和用 $S_5=a_1\frac{1-q^5}{1-q}$。

📖【试题探源与推广】

Tip

试题探源：等比数列已知条件求基本量，核心是”列方程、消元”。

结论推广：通项 $a_n=a_1{q}^{n-1}$；前 $n$ 项和 $S_n=\frac{a_1(1-q^n)}{1-q}$（$q\ne 1$）。

方法推广：把每个条件都写成 $a_1,q$ 的方程，两式相除常能直接消掉 $a_1$ 求 $q$。

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

• 19.02 等比数列全总结

类题演练 (Links)

• 2011-广东卷文-11 填-等比数列公比
• 2012-广东卷文-12 填-等比数列的性质
• 2012-重庆卷文-11 填-等比数列前n项和
• 2012-四川卷文-20 解-由前n项和求通项与最值