2009-大纲卷I文-07 单-组合计数

本题导读

考查组合计数。恰有 $1$ 名女同学分两类：女同学来自甲组或来自乙组，分别用组合数计算后相加。

📌【题干】

Question

（2009年大纲卷I(文)） 甲组有 $5$ 名男同学，$3$ 名女同学；乙组有 $6$ 名男同学，$2$ 名女同学.若从甲、乙两组中各选出 $2$ 名同学，则选出的 $4$ 人中恰有 $1$ 名女同学的不同选法共有 ()

A. $150$ 种　　　　B. $180$ 种　　　　C. $300$ 种　　　　D. $345$ 种

🔍【思路分析】

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1. 第一类：甲出 $1$ 女 $1$ 男、乙出 $2$ 男：${\mathrm{C}}_3^1{\mathrm{C}}_5^1{\mathrm{C}}_6^2$。
2. 第二类：甲出 $2$ 男、乙出 $1$ 女 $1$ 男：${\mathrm{C}}_5^2{\mathrm{C}}_2^1{\mathrm{C}}_6^1$。
3. 相加。

✅【答案】

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D

✍【详细解析】

Abstract

恰有 $1$ 名女同学分两种情况：

• 甲组选出 $1$ 名女生和 $1$ 名男生、乙组选出 $2$ 名男生：${\mathrm{C}}_3^1{\mathrm{C}}_5^1{\mathrm{C}}_6^2=3\times 5\times 15$；
• 甲组选出 $2$ 名男生、乙组选出 $1$ 名女生和 $1$ 名男生：${\mathrm{C}}_5^2{\mathrm{C}}_2^1{\mathrm{C}}_6^1=10\times 2\times 6$。 故不同选法共有 $225+120=345$ 种，选 D。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

核心考点：分类加法计数原理与组合数

核心方法：按特殊元素（女生）的来源分类

避坑指南：恰 $1$ 名女生分”女生来自甲组”与”女生来自乙组”两类，${\mathrm{C}}_6^2=15$ 别算错。

📖【试题探源与推广】

Tip

试题探源：组合计数与分类原理是计数模块的基础组合。

结论推广：分类用加法、分步用乘法；“恰有”型问题按特殊元素归属分类。

方法推广：先定分类标准（谁含女生），再在每类内部按组分步相乘。

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

• 22.01 计数原理、排列与组合

类题演练 (Links)

• 2014-大纲卷文-07 单-组合计数
• 2013-北京卷理-12 填-排列组合应用
• 2012-大纲卷文-07 单-排列特殊元素