2013-大纲卷文-14 填-分组计数

本题导读

本题考查排列与组合的综合应用。

📌【题干】

Question

（2013年大纲卷(文)） 从进入决赛的 $6$ 名选手中决出 $1$ 名一等奖，$2$ 名二等奖，$3$ 名三等奖，则可能的决赛结果共有$\underline{}$种.（用数字作答）

🔍【思路分析】

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1. 第一步：${\mathrm{C}}_6^1=6$。
2. 第二步：${\mathrm{C}}_5^2=10$。
3. 三等奖 $3$ 人自动确定，总数 $=6\times 10$。

✅【答案】

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$60$

✍【详细解析】

Abstract

按名额从高到低分三步：

• 第一步选一等奖 $1$ 名：${\mathrm{C}}_6^1=6$ 种；
• 第二步从剩下 $5$ 人中选二等奖 $2$ 名：${\mathrm{C}}_5^2=10$ 种；
• 第三步剩下 $3$ 人自动获得三等奖，只有 $1$ 种。 由分步乘法计数原理， ${\mathrm{C}}_6^1\times {\mathrm{C}}_5^2\times 1=6\times 10=60,$ 所以共有 $60$ 种可能的决赛结果。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

核心考点：分步计数与组合

核心方法：一等奖 $1$ 名、二等奖 $2$ 名、三等奖 $3$ 名分三步：${\mathrm{C}}_6^1{\mathrm{C}}_5^2{\mathrm{C}}_3^3$

避坑指南：这是分组分配中”名额互不相同”的类型：先定一等奖再定二等奖，剩下的自动是三等奖；用 ${\mathrm{A}}_6^1{\mathrm{A}}_5^2$ 会把二等奖内部的顺序重复计算。

📖【试题探源与推广】

Tip

试题探源：排列组合的综合应用（全国卷常考）。

结论推广：分步乘法计数原理；组合数 ${\mathrm{C}}_n^m$ 用于”只选不排”。

方法推广：名额分配两步：按名额从高到低逐级选取（组合）→ 各步相乘；最后一个名额自动确定时不用再选。

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

• 22.01 计数原理、排列与组合

类题演练 (Links)

• 2014-大纲卷文-07 单-组合计数
• 2013年大纲版理-14