2008-大纲卷II文-16 填-平行六面体充要条件类比

本题导读

考查类比推理与充要条件。平面四边形是平行四边形 $\iff$ 两组对边分别平行（或一组对边平行且相等）；空间四棱柱是平行六面体 $\iff$ 两组相对侧面分别平行（或一组相对侧面平行且全等）。

📌【题干】

Question

（2008年大纲卷II(文)） 平面内的一个四边形为平行四边形的充要条件有多个，如两组对边分别平行，类似地，写出空间中的一个四棱柱为平行六面体的两个充要条件： 充要条件①$\underline{}$； 充要条件②$\underline{}$. （写出你认为正确的两个充要条件）

🔍【思路分析】

破题导航

1. 平行四边形的充要条件：两组对边分别平行；一组对边平行且相等；对角线互相平分。
2. 类比到空间：“边"$\to$"侧面”，“对角线"$\to$"对角线”。
3. 写出两个正确的充要条件即可（答案不唯一）。

✅【答案】

点击查看答案

两组相对侧面分别平行；一组相对侧面平行且全等（答案不唯一，如”两条对角线交于一点且互相平分”等亦可）

✍【详细解析】

Abstract

平面几何中”四边形为平行四边形”的常用充要条件： （i）两组对边分别平行；（ii）一组对边平行且相等；（iii）对角线互相平分. 类比到空间四棱柱 $ABCD-A_1{B}_1{C}_1{D}_1$（侧面为四个平行四边形），“四棱柱为平行六面体”即”底面 $ABCD$ 与 $A_1{B}_1{C}_1{D}_1$ 四个侧面都构成平行四边形关系”，可类比得充要条件： ① 两组相对侧面分别平行（类比”两组对边分别平行”）； ② 一组相对侧面平行且全等（类比”一组对边平行且相等”）； 此外”对角线 $A{C}_1$、$B{D}_1$、$C{A}_1$、$D{B}_1$（体对角线）交于一点且互相平分”等也是正确答案. 本题答案不唯一，写出两个正确的即可.

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

核心考点：类比推理与充要条件（开放题）

核心方法：两组相对侧面分别平行；一组相对侧面平行且全等

避坑指南：平面 $\to$ 空间类比：“边"$\to$"侧面”、“对边"$\to$"相对侧面”；充要条件要求双向成立；开放题答案不唯一，写自己最有把握的两条。

📖【试题探源与推广】

Tip

试题探源：类比开放题考查知识迁移，2009 北京文第 6 题、2010 福建文第 10 题同考充要条件。

结论推广：平行四边形充要条件：两组对边分别平行 / 一组对边平行且相等 / 对角线互相平分；平行六面体对应：两组相对侧面分别平行 / 一组相对侧面平行且全等 / 对角线交于一点且互相平分。

方法推广：类比时逐要素映射（边→侧面、角→二面角、对角线→体对角线）；写完自查”由它能否推出平行六面体、反之是否必然”。

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

• 02.01 常用逻辑用语
• 13.01 空间几何体的结构、表面积与体积

类题演练 (Links)

• 2009-北京卷文-06 单-充要条件判定
• 2009-四川卷文-07 单-充要条件
• 2009-大纲卷II文-05 单-正四棱柱异面直线
• 2010-广东卷文-08 单-充要条件判定