2008-大纲卷II理-11 单-三角

本题导读

本题考查解析几何中等腰三角形性质与直线方程的综合。解题核心在于利用夹角公式求出符合对称构型的两条候选斜率，再根据“原点在底边边上（线段内）”的几何约束进行合理排除。

📌【题干】

Question

（2008年大纲卷II(理)）等腰三角形两腰所在直线的方程分别为 $x + y - 2 = 0$ 与 $x - 7 y - 4 = 0$ ，原点在等腰三角形的底边上，则底边所在直线的斜率为 ()

A. 3　　　　　　　B. 2　　　　　　　C. $- \frac{1}{3}$ 　　　　　　　D. $- \frac{1}{2}$

🔍【思路分析】

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确定两腰直线的斜率 $k_{1} = - 1$ 和 $k_{2} = \frac{1}{7}$ 。

设底边斜率为 $k$ ，由等腰三角形底角相等知底边与两腰的夹角相等，列出关于 $k$ 的绝对值分式方程。

解得两个 $k$ 值后，根据原点 $(0, 0)$ 在底边线上写出底边方程。联立求出底边与两腰的交点，检验原点是否落在两交点构成的线段内部（即底边上）。

✅【答案】

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A

✍【详细解析】

Abstract

设两腰所在直线分别为 $l_{1} : x + y - 2 = 0$ 和 $l_{2} : x - 7 y - 4 = 0$ ，其斜率分别为 $k_{1} = - 1$ ， $k_{2} = \frac{1}{7}$ 。设底边所在直线的斜率为 $k$ 。因为三角形为等腰三角形，所以底边与两腰的夹角相等，根据两条直线的夹角公式有： $\frac{k - k _{1}}{1 + k \cdot k _{1}} = \frac{k - k _{2}}{1 + k \cdot k _{2}} \Rightarrow \frac{k - ( - 1 )}{1 + k \cdot ( - 1 )} = \frac{k - \frac{1}{7}}{1 + k \cdot \frac{1}{7}}$ 化简绝对值内部的式子得： $\frac{k + 1}{1 - k} = \frac{7 k - 1}{7 + k}$ 拆开绝对值分以下两种情况讨论： ① 若 $\frac{k + 1}{1 - k} = \frac{7 k - 1}{7 + k}$ ，交叉相乘展开得： $(k + 1) (k + 7) = (1 - k) (7 k - 1) \Rightarrow k^{2} + 8 k + 7 = - 7 k^{2} + 8 k - 1 \Rightarrow 8 k^{2} + 8 = 0$ 此方程在实数范围内无解。 ② 若 $\frac{k + 1}{1 - k} = - \frac{7 k - 1}{7 + k}$ ，交叉相乘展开得： $(k + 1) (k + 7) = - (1 - k) (7 k - 1) \Rightarrow k^{2} + 8 k + 7 = 7 k^{2} - 8 k + 1 \Rightarrow 6 k^{2} - 16 k - 6 = 0$ 化简为 $3 k^{2} - 8 k - 3 = 0$ ，因式分解得 $(3 k + 1) (k - 3) = 0$ ，解得 $k = 3$ 或 $k = - \frac{1}{3}$ 。

因为“原点在等腰三角形的底边上”，说明底边直线通过原点 $(0, 0)$ ，其方程可设为 $y = k x$ 。联立两腰方程 ${x + y - 2 = 0 x - 7 y - 4 = 0$ 解得三角形顶点的坐标为 $V (\frac{9}{4}, - \frac{1}{4})$ 。

当 $k = 3$ 时，底边直线为 $y = 3 x$ 。它与 $l_{1}$ 的交点为 $P_{1} (\frac{1}{2}, \frac{3}{2})$ ，与 $l_{2}$ 的交点为 $P_{2} (- \frac{1}{5}, - \frac{3}{5})$ 。原点 $(0, 0)$ 的横坐标 0 介于 $- \frac{1}{5}$ 与 $\frac{1}{2}$ 之间，说明原点在线段 $P_{1} P_{2}$ 内部（即在三角形底边上），符合题意。

当 $k = - \frac{1}{3}$ 时，底边直线为 $y = - \frac{1}{3} x$ 。同理求得与两腰的交点横坐标分别为 3 和 $\frac{6}{5}$ 。原点 $(0, 0)$ 的横坐标 0 不在线段内部，而在其延长线上（此时构成三角形在原点外部），不合题意，舍去。综上所述，底边所在直线的斜率为 3。故选 A

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

核心考点：两条直线夹角公式的代数应用、等腰三角形两底角相等的几何代数化。

核心方法：方程思想与边界点位置判定法。

避坑指南：本题极易在求得 $k = 3$ 和 $k = - \frac{1}{3}$ 后由于无法抉择而盲目二选一。必须深刻理解“在底边上”指的是在线段内部而非整条直线上，需通过求出端点坐标进行区间验证。

📖【试题探源与推广】

Tip

试题探源：源自教材中直线与方程章节中关于夹角公式及三角形构型判定的高阶思维训练题。

结论推广：若等腰三角形两腰斜率分别为 $k_{1}, k_{2}$ ，底边过原点且在其线段内，则底边斜率 $k$ 必为满足角平分线构型的双解中使得原点被内分的那一个。

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07.02 三角函数的定义与诱导公式

类题演练 (Links)

2009-上海卷文-12 填-椭圆焦点三角形面积

2009-上海卷文-20 解-向量平行垂直解三角形

2009-上海卷理-06 填-三角函数

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