2008-大纲卷II理-18 解-古典概型

本题导读

本题考查相互独立事件与二项分布在实际生活（保险概率）中的应用。第一问利用对立事件思想建立方程求解基本概率；第二问通过二项分布的期望性质建立关于保费的期望不等式求解。

📌【题干】

Question

（2008年大纲卷II(理)） 购买某种保险，每个投保人每年度向保险公司交纳保费 $a$ 元，若投保人在购买保险的一年内出险，则可以获得 10000 元的赔偿金. 假定在一年度内有 10000 人购买了这种保险，且各投保人是否出险相互独立. 已知保险公司在一年度内至少支付赔偿金 10000 元的概率为 $1-0.999^{10^4}$.

(1) 求一投保人在一年度内出险的概率 $p$;

(2) 设保险公司开办该项险种业务除赔偿金外的成本为 50000 元，为保证盈利的期望不小于 0，求每位投保人应交纳的最低保费. (单位: 元)

🔍【思路分析】

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1. 第(1)问：“至少支付赔偿金 10000 元”等价于“至少有 1 人出险”，其对立事件为“10000 人中均无人出险”。利用相互独立事件的概率乘法公式建立关于 $p$ 的方程求解。
2. 第(2)问：设出险人数为随机变量 $X$，则 $X$ 服从二项分布 $B(10000,p)$，求出期望值 $E(X)$。列出保险公司的利润表达式，根据期望不小于 0 的不等式求解最低保费 $a$。

✅【答案】

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𝑝=0.001；最低保费为15元.

✍【详细解析】

Abstract

(1) “至少支付赔偿金 10000 元”意味着 10000 人中至少有 1 人出险。 其对立事件为“10000 人中没有一个人出险”。 因为每个投保人是否出险相互独立，且每人出险的概率为 $p$， 所以没有人出险的概率为 $(1-p{)}^{10000}$。 因此，至少有一人出险的概率为： $P=1-(1-p{)}^{10000}$ 已知该概率为 $1-0.999^{10^4}$， 所以 $1-(1-p{)}^{10000}=1-0.999^{10000}\Rightarrow (1-p{)}^{10000}=0.999^{10000}$。 解得 $1-p=0.999\Rightarrow p=0.001$。 答：一投保人在一年度内出险的概率 $p=0.001$。

(2) 设一年度内出险的人数为随机变量 $X$，则 $X\sim B(10000,0.001)$。 其数学期望为： $E(X)=10000\times 0.001=10$ 设保险公司的盈利为 $Y$ 元。 总收入为 $10000a$ 元，总支出包括赔偿金 $10000X$ 元和固定成本 50000 元。 则 $Y=10000a-(10000X+50000)=10000a-10000X-50000$。 要保证盈利的期望不小于 0，即 $E(Y)\ge 0$： $E(Y)=10000a-10000E(X)-50000\ge 0$ 代入 $E(X)=10$ 得： $10000a-10000\times 10-50000\ge 0$ $10000a-150000\ge 0\Rightarrow 10000a\ge 150000\Rightarrow a\ge 15$ 故每位投保人应交纳的最低保费为 15 元。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

1. 核心考点：二项分布模型的构建、对立事件概率的计算、随机变量线性组合的期望性质 $E(AX+B)=AE(X)+B$。
2. 核心方法：对立事件法简化多项独立重复试验的“至少”问题。
3. 避坑指南：第(2)问在建立盈利模型时，切勿漏掉除赔偿金外的固定运营成本 50000 元；计算时要明确 $a$ 为每位投保人的单人保费，总收入需乘以总人数 10000。

📖【试题探源与推广】

Tip

1. 试题探源：本题源自教材中大数定律与二项分布在精算学（保险费率设计）中的经典应用模型。
2. 结论推广：若有 $N$ 独立客户，出险概率为 $p$，每人赔偿金为 $C$，固定成本为 $M$，则单人最低保费满足 $a\ge p\cdot C+\frac{M}{N}$。

🔗【关联脉络】

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